【AGC009C】Division into Two

【AGC009C】Division into Two

题面

洛谷

题解

首先有一个比较显然的\(n^2\)算法：

设\(f_{i,j}\)表示\(A\)序列当前在第\(i\)个，\(B\)序列当前在第\(j\)个的方案数，发现\(i,j\)大小没有限制不是很好转移，于是再设一个\(g_{i,j}\)表示\(B\)序列当前在第\(i\)个，\(A\)序列当前在第\(j\)个的方案数的，这样子我们就可以钦定\(i>j\)了，转移会方便许多。

转移如下：

\[\left\{ \begin{aligned} f_{i+1,j}\leftarrow f_{i,j}(a_{i+1}-a_i\geq A)\\ g_{i+1,i}\leftarrow f_{i,j}(a_{i+1}-a_j\geq B)\\ g_{i+1,j}\leftarrow g_{i,j}(a_{i+1}-a_i\geq B)\\ f_{i+1,i}\leftarrow g_{i,j}(a_{i+1}-a_j\geq A) \end{aligned} \right. \]

---

然后让我们想一想怎么优化这个东西。

不妨设\(A<B\)，则对于\(\forall i\geq 3,a_i-a_{i-2}\geq A\)，对于不符合的我们直接判掉。

设\(f_i\)表示当前\(B\)序列在\(i\)的方案数，我们对于可以转移过来的\(j\)，必须要满足\(a_i-a_j\geq B\)，而对于\(\forall k\in [j+1,i-1]\)，则要满足\(a_k-a_{k-1}\geq A\)，考虑到这样的\(j\)是一个区间，而区间左右端点单调，我们把这个区间搞出来然后前缀和优化即可。

复杂度\(O(n)\)。

代码

\\O(n^2)
int main () { 
	scanf("%d %lld %lld", &N, &A, &B); 
	if (A > B) swap(A, B); 
	for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", a + i); 
	for (int i = 3; i <= N; i++) if (a[i] - a[i - 2] < A) return puts("0") & 0; 
	a[0] = -1e18; 
	int ans = 0; 
	f[1][0] = 1, g[1][0] = 1; 
	for (int i = 1; i <= N; i++) 
		for (int j = 0; j < i; j++) { 
			if (a[i + 1] - a[i] >= A) f[i + 1][j] = (f[i + 1][j] + f[i][j]) % Mod; 
			if (a[i + 1] - a[j] >= B) g[i + 1][i] = (g[i + 1][i] + f[i][j]) % Mod; 
			if (a[i + 1] - a[i] >= B) g[i + 1][j] = (g[i + 1][j] + g[i][j]) % Mod; 
			if (a[i + 1] - a[j] >= A) f[i + 1][i] = (f[i + 1][i] + g[i][j]) % Mod; 
		} 
	for (int i = 0; i < N; i++) ans = (ans + (f[N][i] + g[N][i]) % Mod) % Mod; 
	printf("%d\n", ans); 
    return 0; 
} 

\\O(n)
int main () { 
	scanf("%d %lld %lld", &N, &A, &B); 
	for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", a + i);
	if (A > B) swap(A, B); 
	for (int i = 3; i <= N; i++) if (a[i] - a[i - 2] < A) return puts("0") & 0;
	f[0] = s[0] = 1;
	int l = 0, r = 0; 
	for (int i = 1; i <= N; i++) { 
		while (r < i - 1 && a[i] - a[r + 1] >= B) ++r; 
		if (l <= r) f[i] = (s[r] - (l ? s[l - 1] : 0) + Mod) % Mod; 
		s[i] = (s[i - 1] + f[i]) % Mod; 
		if (i != 1 && a[i] - a[i - 1] < A) l = i - 1; 
	} 
	int ans = 0; 
	for (int i = N; ~i; i--) { 
		ans = (ans + f[i]) % Mod; 
		if (i != N && a[i + 1] - a[i] < A) break; 
	} 
	printf("%d\n", ans); 
    return 0; 
}