【LG3235】 [HNOI2014]江南乐

题目描述

给出\(n\)堆石子, 每次可以选择将大于某个数\(f\)一堆平均分成多个堆, 最后不能操作的失败。

题解

10pts

直接爆搜即可。

70pts

像我们对这类题目的常规操作那样，将一整个局面分为几个子游戏，然后异或起来求答案。

注意到我们现将一堆\(m\)分为\(i\)堆，那么会分成\(\lfloor \frac mi\rfloor * i\)堆大小为\(\lfloor \frac mi\rfloor\)的，\(m - \lfloor \frac mi\rfloor * i\)堆大小为\(\lfloor \frac mi\rfloor+1\)的，
我们直接暴力求每个状态的\(SG\)就好了,复杂度\(O(T\)值域\(^2)\)。

100pts

观察到一种拆分的方案\(j,j,j...j,j+1,j+1...j+1\)，
在异或的过程中\(SG(j)\bigoplus SG(j)=0\)，\(SG(j+1)\bigoplus SG(j+1)=0\)，
那么只要考虑有奇数还是偶数个\(j\),\(j+1\)即可。

但是这样还是不够的, 我们自然而然的想到, 如果将石子堆划分为\(i\)堆 或者是\(k\)堆而且 \(\lfloor\frac{m}{i}\rfloor=\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\)
它们的后继状态都是\(SG(\lfloor\frac{m}{i}\rfloor)\)
或者是 \(SG(\lfloor\frac{m}{i}\rfloor+1)\),
它们对答案的贡献可能是相同的, 根据上一段的论述, 这取决于 \(\lfloor\frac{m}{i}\rfloor\times i\)
和 \(\lfloor \frac{x}{i}\rfloor\times i\)的奇偶性。
如果我们手推一下, 就会发现如果 $$\lfloor\frac{m}{i}\rfloor=\lfloor\frac{m}{i+1}\rfloor=\lfloor\frac{m}{i+2}\rfloor=\cdots$$
那么\(i\)和\(i+1\)对答案的贡献是相同的, \(i+1\)和\(i+2\)堆答案的贡献相同,,相同的状态我们只需要计算一次,对于\(\frac{m}{i}\)相同的所有\(i\),我们只需要计算最小的\(i\)和\(i+1\)即可。

然后我们对这个进行数论分块即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm>
using namespace std; 
inline int gi() {
    register int data = 0, w = 1;
    register char ch = 0;
    while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar(); 
    if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();
    return w * data; 
} 

const int MAX_N = 1e5 + 5;
int SG[MAX_N], vis[MAX_N], T, F; 
int dfs(int x) { 
    if (x < F) return 0; 
    if (~SG[x]) return SG[x]; 
    for (int l = 2, r; l <= x; l = r + 1) { 
        r = (x / (x / l)); 
        for (int j = l; j <= min(l + 1, r); j++) { 
            int a = x % j, b = x / j, c = j - x % j, s = 0; 
            if (a & 1) s ^= dfs(b + 1); 
            if (c & 1) s ^= dfs(b); 
            vis[s] = x; 
        } 
    } 
    for (int i = 0;; i++) if (vis[i] != x) return SG[x] = i;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("cpp.in", "r", stdin); 
#endif
    memset(SG, -1, sizeof(SG));
    T = gi(), F = gi();
    while (T--) {
        int n = gi(), ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ans ^= dfs(gi());
        printf("%d ", (bool)ans);
    }
    return 0;
}