【HDU3117】Fibonacci Numbers

题面

求斐波那契数列的第 $n$ 项的前四位及后四位。

其中 $0\leq n<2^{32}$

题解

其实后四位还是比较好求，矩阵快速幂就可以了，主要是前四位。

先用线性常系数齐次递推求出斐波那契数列的通项公式

f_{n} = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n})

$f_n=\frac{\sqrt 5}{5}\left((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right)$

因为数列的前 $39$ 项我们还是存的下的，所以我们只考虑 $n\geq40$ 的情况

考虑到 $n\geq40$ 时 $\frac{\sqrt 5}{5}*(\frac{1-\sqrt5}{2})^n$ 是个很小的东西，可以不考虑它的影响

那么我们就是要求

\frac{\sqrt{5}}{5} (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n}

$\frac{\sqrt 5}{5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n$

现在先考虑这样一个式子，数 $x$ 用科学计数法表示

x = t * 10^{k}

$x=t*10^k$

那么 $x$ 的前四位即为 $t$ 的前四位，我们将 $x$ 取个常用对数

lg x = lg t + k

$\lg x=\lg t+k$

类比上式以及我们要求的式子：

$\begin{aligned} y&=\lg\left(\frac{\sqrt 5}{5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\right)\\ &=\lg\frac{\sqrt 5}{5}+\lg\;(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\\ &=\lg\frac{\sqrt 5}{5}+n\times \lg\frac{1+\sqrt5}{2} \end{aligned}$

那么 $\lg t=y-\lfloor y\rfloor$ ，最后 $1000\times 10^y$ 的整数部分就是答案。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm>
using namespace std; 
const int Mod = 1e4; 
struct Matrix { 
	int m[2][2]; 
	Matrix() { memset(m, 0, sizeof(m)); } 
	void init() { for (int i = 0; i < 2; i++) m[i][i] = 1; } 
	int *operator [] (int id) { return m[id]; } 
	Matrix operator * (const Matrix &b) { 
		Matrix res; 
		for (int i = 0; i < 2; i++) 
			for (int j = 0; j < 2; j++) 
				for (int k = 0; k < 2; k++) 
					res[i][j] = (res[i][j] + m[i][k] * b.m[k][j] % Mod) % Mod; 
		return res; 
	} 
} ; 
int N, f[40];
int TASK1() { 
	double s = log10(sqrt(5.0) / 5.0) + 1.0 * N * log10((1.0 + sqrt(5.0)) / 2.0); 
	s = s - (int)s; 
	double ans = 1000 * pow(10.0, s); 
	return ans; 
} 
int TASK2() { 
	Matrix S, T, ans; int n = N; ans.init(); 
	S[0][0] = 1; 
	T[0][0] = 1, T[0][1] = 1; 
	T[1][0] = 1, T[1][1] = 0; 
	while (n) { if (n & 1) ans = ans * T; n >>= 1; T = T * T; } 
	S = ans * S; 
	return ans[1][0]; 
} 
int main () { 
	f[0] = 0, f[1] = 1; for (int i = 2; i < 40; i++) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]; 
	while (~scanf("%d", &N)) { 
		if (N < 40) { printf("%d\n", f[N]); continue; } 
		printf("%04d...%04d\n", TASK1(), TASK2()); 
	} 
	return 0; 
}