【HDU3117】Fibonacci Numbers

【HDU3117】Fibonacci Numbers

题面

求斐波那契数列的第\(n\)项的前四位及后四位。

其中\(0\leq n<2^{32}\)

题解

前置知识：线性常系数齐次递推

其实后四位还是比较好求，矩阵快速幂就可以了，主要是前四位。

先用线性常系数齐次递推求出斐波那契数列的通项公式

\[f_n=\frac{\sqrt 5}{5}\left((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right) \]

因为数列的前\(39\)项我们还是存的下的，所以我们只考虑\(n\geq40\)的情况

考虑到\(n\geq40\)时\(\frac{\sqrt 5}{5}*(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\)是个很小的东西，可以不考虑它的影响

那么我们就是要求

\[\frac{\sqrt 5}{5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n \]

现在先考虑这样一个式子，数\(x\)用科学计数法表示

\[x=t*10^k \]

那么\(x\)的前四位即为\(t\)的前四位，我们将\(x\)取个常用对数

\[\lg x=\lg t+k \]

类比上式以及我们要求的式子：

\[\begin{aligned} y&=\lg\left(\frac{\sqrt 5}{5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\right)\\ &=\lg\frac{\sqrt 5}{5}+\lg\;(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\\ &=\lg\frac{\sqrt 5}{5}+n\times \lg\frac{1+\sqrt5}{2} \end{aligned} \]

那么\(\lg t=y-\lfloor y\rfloor\)，最后\(1000\times 10^y\)的整数部分就是答案。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm>
using namespace std; 
const int Mod = 1e4; 
struct Matrix { 
	int m[2][2]; 
	Matrix() { memset(m, 0, sizeof(m)); } 
	void init() { for (int i = 0; i < 2; i++) m[i][i] = 1; } 
	int *operator [] (int id) { return m[id]; } 
	Matrix operator * (const Matrix &b) { 
		Matrix res; 
		for (int i = 0; i < 2; i++) 
			for (int j = 0; j < 2; j++) 
				for (int k = 0; k < 2; k++) 
					res[i][j] = (res[i][j] + m[i][k] * b.m[k][j] % Mod) % Mod; 
		return res; 
	} 
} ; 
int N, f[40];
int TASK1() { 
	double s = log10(sqrt(5.0) / 5.0) + 1.0 * N * log10((1.0 + sqrt(5.0)) / 2.0); 
	s = s - (int)s; 
	double ans = 1000 * pow(10.0, s); 
	return ans; 
} 
int TASK2() { 
	Matrix S, T, ans; int n = N; ans.init(); 
	S[0][0] = 1; 
	T[0][0] = 1, T[0][1] = 1; 
	T[1][0] = 1, T[1][1] = 0; 
	while (n) { if (n & 1) ans = ans * T; n >>= 1; T = T * T; } 
	S = ans * S; 
	return ans[1][0]; 
} 
int main () { 
	f[0] = 0, f[1] = 1; for (int i = 2; i < 40; i++) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]; 
	while (~scanf("%d", &N)) { 
		if (N < 40) { printf("%d\n", f[N]); continue; } 
		printf("%04d...%04d\n", TASK1(), TASK2()); 
	} 
	return 0; 
}