线性常系数齐次递推总结
线性常系数齐次递推总结
本文为作者的一些理解，如有错误之处请指出。
概念
其实就是这样一个式子：
\[a_n=\alpha_1a_{n-1}+\alpha_2a_{n-2}+\alpha_3a_{n-3}+...+\alpha_ka_{n-k}
\]
因为它是线性的，没有高次的项，而且次数都相等，没有一些不是常数的奇怪函数夹在里面
所以它叫这个名字
还有它的特征方程是
\[x^k=\alpha_1x^{k-1}+\alpha_2x^{n-2}+\alpha_3x^{n-3}+...+\alpha_kx^{n-k}
\]
这个解出来会有很大的用途
应用
主要是考虑\(k=2\)的情况主要是高次我不会
那么就是
\[f_n=\alpha_1f_{n-1}+\alpha_2f_{n-2}
\]
它的一个特征方程
\[x^2=\alpha_1x+\alpha_2
\]
有三种解的情况：
1.两个实根：
有
\[f_n=cx_1^n+dx_2^n
\]
我们将几个知道\(f_n\)的\(n\)带进去，就可以解出来了
例如斐波那契数列：
\[f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\\
f_0=0,f_1=1
\]
特征方程:
\[x^2=x+1\\
x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2}
\]
代入\(f_0=0,f_1=1\)
\[\begin{cases} 0=c+d\\ \\ \\
1=c*\frac{1+\sqrt5}{2}+d*\frac{1-\sqrt5}{2}
\end{cases}\]
解得
\[c=\frac{\sqrt 5}{5},d=-\frac{\sqrt 5}{5}
\]
所以通项公式
\[f_n=\frac{\sqrt 5}{5}\left((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right)
\]
2.一个实根
和上面一样代
其中
\[f_n=(c+dn)x^n
\]
3.有一组共轭复根
有一对共轭复根\(x_1=ρeiθ\)和\(x_2=ρe-iθ\)时，
\(f_n=c*ρncosnθ+d*ρnsinnθ\)
其中，\(c,d\)是待定系数。
一些题目
以后再补，咕咕咕
