长链剖分总结
长链剖分总结
概念
长链剖分和轻重链剖分十分相似，都是将一棵树节点的信息分成多条链的信息，但是前者是以深度剖分，后者则是以子树大小来剖分。
同时长链剖分还借鉴了$dsu\;on\;tree$的一些$trick$使得它能十分高效地合并子树信息。
性质
破天荒地写了证明
性质一
所有链长度之和为节点数
证明：
- 每个点在且仅在一条链中
性质二
任意一个点$k$级祖先所在长链的长度一定大于等于$k$
证明：
- 假如$y$所在长链的长度小于$k$，那么它所在的链一定不是重链，因为$x-y$这条链显然更优，那么$y$所在的重链长度至少为$k$，性质成立。否则 $y$ 所以在长链长度大于等于 $k$ ，性质成立。
性质三
任意一个点跳重链到根所用的次数不超过$\sqrt n$
证明：
- 根据性质二，如果一个点从当前链跳到另一条链上，另一条链的长度大于当前链的长度
- 那么最坏情况为链长分别为$1,2,3...\sqrt n$共$\sqrt n$次
一些trick
一、高效计算k级祖先
首先对树进行长链剖分，记录每个节点所在的链的链顶，然后按深度记下每条链中的节点和这条链的长度个数个祖先，再预处理倍增数组代表$2^k$祖先。根据性质二，我们跳到节点的大于$\frac k2$次祖先，我们可以通过之前预处理出的链顶祖先中找到$k$及祖先，感性理解分析可得，第一次跳$highbit(k)$次祖先最快，复杂度$O(1)$
总复杂度$O(nlogn)+O(询问次数)$
