狄利克雷卷积&莫比乌斯反演总结
狄利克雷卷积&莫比乌斯反演总结
Prepare
1、[P]表示当P为真时[P]为1,否则为0。
2、a|b指b被a整除。
3、一些奇怪常见的函数:
1(n)=1
id(n)=n
σ(n)=n的约数和
d(n)=n的约数个数
ϵ(n)=[n==1]
狄利克雷卷积
数论函数
数论函数指一类定义域是正整数,值域是一个数集的函数。
加法:逐项相加就可以辣(f+g)(x)=f(x)+g(x)
数乘:用一个常数乘(xf)(n)=x∗f(n)
狄利克雷卷积
定义两个数论函数的狄利克雷卷积∗:
若t=f∗g则
等价于
狄利克雷卷积有以下性质(两个数论函数相等,是指两个函数的每一项都相等):
1、交换律f∗g=g∗f
2、结合律f∗(g∗h)=(f∗g)∗h
3、分配律f∗h+g∗h=(f+g)∗h
4、没有名字(xf)∗g=x(f∗g)
5、单位元ϵ∗f=f,其中ϵ(n)=[n==1]
6、逆元:对于每一个f(1)≠0的函数f,都有f∗g=ϵ
讨论一下第六个结论,如何求一个函数的逆呢?
只需要定义
这样的话
积性函数
如果一个数论函数f有当gcd(n,m)==1时
就称f为积性函数。
一些常见的积性函数:
ϵ(n)=[n==1],id(n)=n,idk(n)=nk
事实上他们也满足完全积性(即当gcd(n,m)≠1时,也有f(nm)=f(n)f(m))
特殊的,我们令id0(n)=1(n)=1
还有两个普通的积性函数
d(n)=n的约数和、φ(n)=[1,n]中与n互质的数的个数
还有两个重要结论:
两个积性函数的狄利克雷卷积是积性函数。
积性函数的逆是积性函数。
积性函数有什么用呢?
它可以线性筛
然而还有更有用的−−−
莫比乌斯反演
一些理论
我们定义1的逆是μ
这样的话,如果g=f∗1,就有f=f∗1∗μ=g∗μ
换句话说,就是
也可以这样子
例子
怎么用呢?举几个例子(以下情况默认n≤m)
Eg1
求
然后怎么办呢?
设
则
考虑g(x)是什么
即
带回f(1)
这个用整除分块可以做到O(√n)
Eg2
求
可化为
设
则
套入我们刚才在Eg1求得的
化到现在是O(n)的,因为前后都可以数论分块
但是我们能做得更好
令T=id
原式化为
乍一看还是O(n)的呀,但是对于后面那一坨
两个积性函数相乘,可以线性筛呀!!
所以复杂度被我们压到了O(√n)
updon2019.3.9:
发现以前没有讲线性筛,导致现在自己都不知道是怎么搞得了。。。
线性筛
我们筛μ的函数是长这样的(自动认为有模数):
其实就是和筛素数的是一样的,
if (i % prime[j] == 0) break;
这句话保证了复杂度,因为你存的素数是递增的,
如果i被prime[j]整除后,i∗prime[j+k](k>0)一定可以被prime[j]∗x的形式表示出来。
那么就有我们下面的一个问题:
Eg3
给定你一个数组f,求
其中n,m≤107,数据组数T≤104。
由我们上面推的东西,将f看作一个数论函数,可以知道只要求出一个函数g=μ∗f的前缀和,
这个问题就解决了。
一下是解决这个问题的几种方法(蒯的):
对于最后一种方法,理解成dp:
那么转移:
复杂度O(n\log\log n)。
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