随笔分类 - 数论、数学---组合数学
摘要：欧拉数学习笔记 定义 定义$\left<\beginn\i\end\right>$为长度为$n$的排列$p$，满足$p_j<p_{j+1}$的数目为$i$的排列数，也就是欧拉数。 求法 首先可以考虑dp转移$\left<\beginn\i\end\right>$，考虑现在有$1\sim n-1$，加
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摘要：【LOJ6374】[SDWC2018 Day1]网格 题面 loj 题解 先考虑一下没有限制而且可以同时不走的，那么显然行列是独立的。 设$\text(R,T,M)$表示某一维走出步数$R$，走$T$格，每步不超过$M$，令生成函数$\text(x)=1+x+x2+\cdots +xM=\frac
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摘要：题面 "UOJ" 题解 $m n$显然无解。 建出这个序列的笛卡尔树（如果大小相同则取最左的点），那么一颗笛卡尔数对应且只对应一种序列。 考虑这棵笛卡尔树的性质，就是往左儿子走它的数的大小必然减小至少$1$，而往右走是不一定减一的。 那么这棵笛卡尔树必须要满足从根往叶子节点走，向左走的次数$\leq
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摘要：题面 "洛谷" 题解 显然对于所有点对答案的贡献都有一个相同的系数，设这个系数为$X$，那么$ans=X\sum w_i$。 枚举一个点所在集合的大小，有 $$ \begin{aligned}\\ X&=\sum_{i=1}^n i{n 1\choose i 1}\begin{Bmatrix}n i
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摘要：题面 "vjudge" 求出$n$维空间中的点集数目，满足其直径恰好为$D$。点集的直径是点集中最远一对 点的切比雪夫距离。如果两个点集可以通过平移相互转换,则这两个点集是相同的。 题解 直接蒯Anson爷的题解了： 平移的限制可以理解为每一维都存在该维坐标为$0$的点(认为所有坐标都是非负整数)。
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摘要：题面 "洛谷" 题解 令$f_i$表示$i$个数的排列，最大的数填在了最后一个位置，且这个$\text{fast_max}$函数尚未返回的方案数。 枚举数$i 1$的位置，那么$i 1$必然填在区间$[i k,i 1]$内，否则函数就会返回。 那么我们有 $$ \begin{aligned} f_i
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摘要：题面 "洛谷" 题解 令$f_i$表示大小为$i$的竞赛图的场数期望，$g_i$表示形成大小为$i$的$SCC$的概率，$h_{i,j}$为$i$个人打比赛，其中$j$个人被剩下$i j$个人打爆的概率。 枚举最后一个$SCC$的大小，有 $$ f_i=\sum_{j=1}^i g_jh_{i,j}
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摘要：PKUSC2018题解 真实排名 分别考虑第$i$个人翻倍和不翻倍的情况，组合数算一下即可，务必注意实现细节。 "代码" 最大前缀和 设$sum_s$表示集合$\sum_{i\in s} a_i$，$f_s$表示最大前缀和 等于 $sum_s$的方案数，$g_s$表示选出集合$s$排成的最大前缀和
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摘要：PKUWC2018题解 Minimax 显然最终权值只能是所有叶子中的权值，设$f_{i,j}$表示以$i$节点的数字为$j$的概率，这个dp很简单。 这时候暴力向上合并是$O(n^2)$的，想办法优化向上合并的效率。 考虑线段树合并，如果只有一个儿子直接继承就行了，关键是两个儿子也就是两颗线段树怎
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摘要：【51Nod 1769】Clarke and math2 题面 "51Nod" 题解 对于一个数论函数$f$，$\sum_{d|n}f(d)=(f\times 1)(n)$。 其实题目就是要求$g=f\times 1^k$。 考虑$1^k(n)$怎么求，因为$1(n)$是个积性函数，所以$1^k(n
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摘要：【BZOJ1008】[HNOI2008]越狱 题面 "bzoj" 题解 首先，所有选的方案数为$M^N$。 再减去没人越狱的方案数$M\times (M 1)^{N 1}$。 所以有 $$Ans=M^N M\times (M 1)^{N 1}$$
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摘要：题面 "洛谷" 题解 20pts 枚举每一条边是否在树中即可。 另10pts 我们考虑一张$DAG$中构成树的方法数，每个点选一个父亲即可，那么有 $$Ans=\prod_{i=1}^{n} deg_i$$ $deg_i$表示点$i$的入度，其中$deg_1=1$。 $100pts$ 考虑在上面的基
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摘要：【CF960G】Bandit Blues 题面 "洛谷" 题解 思路和 "这道题" 一模一样，这里仅仅阐述优化的方法。 看看答案是什么： $$ Ans=C(a+b 2,a 1)\centerdot s(n 1,a+b 2) $$ 组合数我们已经可以$O(N)$求了，主要是第一类斯特林数存在问题。 考
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摘要：【LG4091】[HEOI2016/TJOI2016]求和 题面 要你求： $$ \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j) 2^j j! $$ 其中$S$表示第二类斯特林数，$n\leq10^5$，答案对$998244353$取模。 题解 这题你们好早就做了，因为由于技术原因(不
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摘要：【LG4491】[HAOI2018]染色 题面 "洛谷" 题解 颜色的数量不超过$lim=min(m,\frac nS)$ 考虑容斥，计算恰好出现$S$次的颜色 至少 $i$种的方案数$f[i]$，钦定$i$种颜色至少放$S$种 有$m$种颜色，那么要乘上$C_m^i$。 然后这$n$个位置分为$i
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摘要：【LG4609】[FJOI2016]建筑师 题面 "洛谷" 题解 (图片来源于网络) 我们将每个柱子和他右边的省略号看作一个集合 则图中共有$a+b 2$个集合 而原来的元素中有$n 1$个(除去最后一个) 考虑第一类斯特林数的意义: 从$n$个元素选出$m$个有序圆圈的方案数 我们将圆圈从中间最大
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