Codeforces Round #649 (Div. 2)
A. XXXXX
维护一个关于模\(x\)的前缀和就行。
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/13 23:07:56
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
void run() {
int n, x; cin >> n >> x;
vector <int> a(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
a[i] %= x;
}
vector <int> sum(n);
sum[0] = a[0];
for(int i = 1; i < n; i++) {
sum[i] = (sum[i - 1] + a[i]) % x;
}
int last = -1;
int ans = -1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (sum[i] != 0) {
ans = i + 1;
} else if (last != -1) {
ans = max(ans, i - last);
}
if (sum[i] > 0 && last == -1) {
last = i;
}
}
cout << ans << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
int T; cin >> T; while(T--)
run();
return 0;
}
B. Most socially-distanced subsequence
显然我们最后的选择一定选择连续上升/下降的端点，在中间的点选择对答案不会有贡献并且会增加序列长度。
所以简单枚举判断一下就行。
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/13 23:14:56
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
void run() {
int n; cin >> n;
vector <int> a(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
vector <int> b;
b.push_back(a[0]);
for (int i = 1, j; i < n; i = j) {
j = i;
if (a[j] < a[j - 1]) {
while (j < n && a[j] < a[j - 1]) ++j;
b.push_back(a[j - 1]);
} else {
while (j < n && a[j] > a[j - 1]) ++j;
b.push_back(a[j - 1]);
}
}
cout << sz(b) << '\n';
for (auto it : b) {
cout << it << ' ';
}
cout << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
int T; cin >> T; while(T--)
run();
return 0;
}
C. Ehab and Prefix MEXs
题意：
给定一个序列\(a\)，\(0\leq a_i\leq i,a_i\leq a_{i+1}\)。
现在要构造出一个序列\(b\)，使得对于每个\(i\)，都有
- \(MEX(\{b_1,b_2,\cdots,b_i\})=a_i\)
输出\(b\)序列。
思路：
注意到若\(a_i\not ={a_{i+1}}\)，那么\(b_{i+1}=a_i\)。因此我们首先可以将这些位置确定。
并且若\(1\)~\(i\)不含\(a_i\)，那么\(MEX(\{b_1,b_2,\cdots,b_i\})\leq a_i\)。那么我们现在所考虑的是让前缀\(MEX\)尽量大并且不包含\(a_i\)。这样直接贪心构造一下就行。
因为题目条件，显然至少存在一组合法解。
代码如下：
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/15 9:28:17
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e6 + 5;
bool del[N];
int n;
int a[N], b[N];
void run() {
memset(b, -1, sizeof(b));
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (a[i] != a[i - 1]) {
del[a[i - 1]] = true;
b[i] = a[i - 1];
}
}
del[a[n]] = true;
int m = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) if (b[i] == -1) {
while (del[m]) ++m;
b[i] = m++;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cout << b[i] << " \n"[i == n];
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
D. Ehab's Last Corollary
和之前一道题很想，找环我们可以直接通过\(dfs\)树来找。
如果不存在环那么直接按照深度分层即可。
注意奇数层和偶数层都有可能成为答案。
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/14 0:25:26
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
vector <int> G[N];
int n, m, k;
int deep[N], father[N];
vector <int> d[N];
int t;
vector <int> cyc;
void find(int u, int v) {
while (u != v) {
cyc.push_back(u);
u = father[u];
}
cyc.push_back(v);
}
void dfs(int u, int fa) {
father[u] = fa;
deep[u] = deep[fa] + 1;
d[deep[u]].push_back(u);
for (auto v : G[u]) if (v != fa) {
if (deep[v] == -1) {
dfs(v, u);
} else if (deep[u] > deep[v]) {
if (deep[u] - deep[v] + 1 <= k) {
if (t == 2) continue;
t = 2;
find(u, v);
}
}
}
}
void run() {
memset(deep, -1, sizeof(deep));
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v; cin >> u >> v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs(1, 0);
if (t == 2) {
cout << 2 << '\n';
cout << sz(cyc) << '\n';
for (auto it : cyc) {
cout << it << ' ';
}
cout << '\n';
return;
}
vector <int> ans;
int need = (k + 1) / 2;
for (int i = 0; i <= n && need; i += 2) {
for (auto it : d[i]) {
ans.push_back(it);
if (--need == 0) {
break;
}
}
}
if (need) {
need = (k + 1) / 2;
ans.clear();
for (int i = 1; i <= n && need; i += 2) {
for (auto it : d[i]) {
ans.push_back(it);
if (--need == 0) {
break;
}
}
}
}
cout << 1 << '\n';
for (auto it : ans) {
cout << it << ' ';
}
cout << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
E. X-OR
题意：
交互题。
现在有\(0...n-1\)的排列\(p\)，每次可以询问两个位置\(i,j\)，会回答\(p_i|p_j\)。
现在至多询问\(4269\)次要求得到排列\(p\)。\(n\leq 2048\)。
思路：
这个题和之前有个每次可以询问一个集合的最大值有相似之处（貌似只是题意比较类似？）。
首先一看这个询问次数很容易发现我们询问大概\(2n+c\)次，并且也很容易发现如果我们知道\(0\)的位置，那么其余的数可以直接求出来。
接下来的任务就是大概\(n+c\)次猜出\(0\)的位置，然后直接得到其余位置的数。
有比较暴力的方法：
- 每次随机选择一个数\(p_i\)，并询问其余在集合\(S\)中的数，找到所有的\(p_j\&p_i=p_j\)的\(j\)，并且找到\(p_i|p_j\)最小的\(val\)，那么容易发现\(val=p_i\)。然后将\(S\)清空将得到的下标集合放入\(S\)中。不断重复此过程。最后会剩下两个数，一个为\(0\)，一个为\(2^t\)，再通过随机找到\(0\)即可。
但遗憾的是上述方法的操作次数较多，通过的几率不大。
不过这种方法可以进行改进：
- 将之前的随机选择一个数该为随机选择两个数进行询问，若\(p_i|p_j\)的二进制位数不超过\(\frac{logn}{2}\)，那么就选择这个数然后执行上面类似的操作。
这样就得到了优化，并且我们每次可以将一个大小为\(n\)的集合变为大小为\(\sqrt{n}\)的集合。因为我们选择\(p_i\)，其中二进制为\(1\)的个数小于一半，假设为\(\frac{logn}{2}\)，那么其子集个数为\(2^{\frac{logn}{2}}=\sqrt{n}\)。这样我们就能得到一个比较稳定的方法，并且很容易发现根号的收敛速度还是比较快的，次数也不会超出。
当然上面的做法有点巧妙，有一个更加普遍的做法，就是利用或运算的性质，我们可以通过\(logn\)次询问获得\(p_i\)的值。具体就是我们求出\(z_0,z_1,\cdots,z_10\)，\(z_i\)表示第\(i\)为二进制数为\(0\)的下标。那么通过\(p_i\)与\(z_i\)的询问即可得到第\(i\)位的\(01\)情况。
之后我们还是借用一开始暴力的思想，但是我们现在因为已经知道了\(p_i\)，所以可以直接确定一个数是否为\(p_i\)的子集(并不需要对所有遍历一遍去找\(val\)了)。那么如果\(p_j\&p_i=p_j\)，直接令新的\(val=p_j\)即可。
两种做法都很巧妙！感觉二进制好多好多trick...\(n\rightarrow \sqrt{n}\)这里也应该是第一次见吧？
代码如下：
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/15 10:16:32
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <random>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
mt19937 rnd(time(NULL));
void run() {
int n; cin >> n;
auto query = [&] (int i, int j) {
cout << "? " << i << ' ' << j << endl;
int x; cin >> x;
return x;
};
int high;
for (int i = 11; i >= 0; i--) {
if ((n - 1) >> i & 1) {
high = i + 1;
break;
}
}
vector <int> z(high, -1);
while (count(all(z), -1)) {
int i = rand() % n + 1, j = rand() % n + 1;
if (i == j) continue;
int val = query(i, j);
for (int k = 0; k < high; k++) {
if (!(val >> k & 1)) {
z[k] = i;
}
}
}
auto get = [&](int p) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < high; i++) {
if (z[i] == p) continue;
int val = query(z[i], p);
if (val >> i & 1) {
res += 1 << i;
}
}
return res;
};
vector <int> ans(n, -1);
int zero = 1;
int val = get(1);
ans[0] = val;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int v = query(zero, i);
if ((v & val) == v) {
zero = i;
val = get(i);
ans[i - 1] = val;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (ans[i - 1] == -1) {
ans[i - 1] = query(zero, i);
}
}
cout << "!";
for (auto it : ans) {
cout << ' ' << it;
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
重要的是自信，一旦有了自信，人就会赢得一切。
