Educational Codeforces Round 89 (Rated for Div. 2)
A. Shovels and Swords
贪心。每次尽可能取较多那一边即可。
写法上可以加速，\((2,1),(1,2)\)这种可以看作\((3,3)\)，只取\((1,2)\)这种解个方程即可。
代码如下：
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/11 22:36:15
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
void run() {
int a, b; cin >> a >> b;
if (a > b) swap(a, b);
int x = min(b / 2, min(a, b - a));
b -= 2 * x;
a -= x;
int ans = x;
int c = min(a, b);
ans += c / 3 * 2;
a -= c / 3 * 3;
b -= c / 3 * 3;
if (a > b) swap(a, b);
for (int i = 3; i >= 0; i--) {
if (i <= a && 2 * i <= b) {
ans += i;
break;
}
}
cout << ans << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
int T; cin >> T; while(T--)
run();
return 0;
}
B. Shuffle
按题意模拟即可。
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/11 22:44:42
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define l first
#define r second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
void run() {
int n, m, x;
cin >> n >> x >> m;
vector <pii> a(m);
for (int i = 0; i < m; i++) {
int l, r; cin >> l >> r;
a[i] = MP(l, r);
}
int Min = x, Max = x;
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (min(a[i].r, Max) >= max(a[i].l, Min)) {
Min = min(a[i].l, Min);
Max = max(a[i].r, Max);
}
}
cout << Max - Min + 1 << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
int T; cin >> T; while(T--)
run();
return 0;
}
C. Palindromic Paths
找出矩阵所有对称的斜线就行。代码中有些细节，边界情况要注意一下。
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/11 22:55:58
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
void run() {
int n, m; cin >> n >> m;
vector <vector <int>> a(n, vector <int>(m));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
cin >> a[i][j];
}
}
int t = n + m - 1;
int d = t / 2;
int ans = 0;
for (int k = 0; k < d; k++) {
vector <vector <int>> cnt(2, vector <int>(2));
int i = 0, j = k;
if (j >= m) {
i += j - m + 1;
j = m - 1;
}
while (j >= 0 && i < n) {
++cnt[0][a[i][j]];
++i, --j;
}
i = n - 1, j = m - 1 - k;
if (j < 0) {
i += j;
j = 0;
}
while (j < m && i >= 0) {
++cnt[1][a[i][j]];
--i, ++j;
}
ans += min(cnt[0][0] + cnt[1][0], cnt[0][1] + cnt[1][1]);
}
cout << ans << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
int T; cin >> T; while(T--)
run();
return 0;
}
D. Two Divisors
令\(a_i=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*\cdots *p_k^{q_k}\)构造\(d_1=p_1^{q_1},d_2=\frac{a_i}{d_1}\)就行。
因为有这个式子：
- 若\(x,y\)互质，则\(gcd(x+y,xy)=1\)。
证明的话视频里面有，主要就是用到两个关于\(gcd\)的性质：
- \(gcd(a,b)=gcd(a+b,b)\);
- 若\(gcd(a,c)=1\)，则\(gcd(a,bc)=gcd(a,b)\)。
代码如下：
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/11 23:23:11
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 5e5 + 5, M = 2e7 + 5;
int n;
int cnt;
int p[M];
bool chk[M];
void init() {
for(int i = 2; i < M; i++) {
if(!chk[i]) p[++cnt] = i;
for(int j = 1; j <= cnt && 1ll * i * p[j] < M; j++) {
chk[i * p[j]] = 1;
if (i % p[j] == 0) {
break;
}
}
}
}
pii ans[N];
void run() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x; cin >> x;
int tmp = x;
vector <int> v;
for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
if (1ll * p[j] * p[j] > x) {
break;
}
if (x % p[j] == 0) {
int t = 1;
while (x % p[j] == 0) {
x /= p[j];
t *= p[j];
}
v.push_back(t);
}
}
if (x > 1) {
v.push_back(x);
}
if (sz(v) < 2) {
v = {-1, -1};
} else {
v = {v[0], tmp / v[0]};
}
ans[i] = MP(v[0], v[1]);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cout << ans[i].fi << " \n"[i == n];
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cout << ans[i].se << " \n"[i == n];
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
init();
run();
return 0;
}
E. Two Arrays
首先判掉不合法的情况，若对于\(a_i=b_k\)且此时\(a_i\)为最后一次出现，若\(min\{a_{i+1},\cdots,a_n\}<a_i\)，那么就不合法。注意开头\(a_1,\cdots,a_j,a_j\)为\(b_1\)的最后一次出现这段要特判。
之后对于\(1,...,m-1\)每一个区间找到尽量靠左边的右端点，那么很容易得知右端点的取值范围，只要后面的取值合法就行，之后把所有的这些区间乘起来就行。
上述过程可以二分、单调栈、模拟等多种方法解决。
还有一种比较巧妙的做法，就是维护序列\(a\)的后缀，所有后缀最小值相等的区间天然形成了一段合法的移动区间，我们对于每个\(b_i\)把个数乘起来就行。注意一下判断不合法的情况，前面说的在实现过程中乘起来直接等于\(0\)，不用特殊判断；但前面那一段无法确定，加上\(suf_1\not ={b_1}\)就行，这里大了小了都不满足条件。
细节见代码：
solution1
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/12 9:28:53
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5, MOD = 998244353;
void run() {
int n, m; cin >> n >> m;
vector <int> a(n), b(m);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
cin >> b[i];
}
vector <int> r(m, -1);
for (int i = n - 1, j = m - 1; i >= 0; i--) {
if (j >= 0 && a[i] == b[j]) {
r[j] = i;
--j;
}
}
if (r[0] == -1) {
cout << 0 << '\n';
return;
}
r.push_back(n);
for (int i = 0; i < r[0]; i++) {
if (a[i] < b[0]) {
cout << 0 << '\n';
return;
}
}
for (int j = 0; j < m; j++) {
for (int i = r[j] + 1; i < r[j + 1]; i++) {
if (a[i] < b[j]) {
cout << 0 << '\n';
return;
}
}
}
int ans = 1;
for (int i = 0; i < m - 1; i++) {
int j = r[i + 1];
while (j > r[i] && a[j] >= b[i + 1]) {
--j;
}
ans = 1ll * ans * (r[i + 1] - j) % MOD;
}
cout << ans << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
solution2
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/12 10:09:52
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5, MOD = 998244353;
void run() {
int n, m; cin >> n >> m;
vector <int> a(n), b(m);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
cin >> b[i];
}
vector <int> suf(n);
suf[n - 1] = a[n - 1];
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
suf[i] = min(a[i], suf[i + 1]);
}
if (suf[0] != b[0]) {
cout << 0 << '\n';
return;
}
map <int, int> mp;
for (int i = 0; i < n; i++) {
++mp[suf[i]];
}
int ans = 1;
for (int i = 1; i < m; i++) {
ans = 1ll * ans * mp[b[i]] % MOD;
}
cout << ans << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
F. Jog Around The Graph
题意：
给定一个\(n\)个点，\(m\)条边的无向带权图。
给定\(q\)，问\(1\leq i\leq q\)，从\(1\)出发经过\(i\)条边的最长路径为多少，记为\(L(i)\)，可以经过重复的边。
输出\(\displaystyle\sum_{i=1}^qL(i)\)。
\(n,m\leq 2000,q\leq 10^9\)。
思路：
比较显然的一点是当\(q\)比较大时，我们显然的走法是在一条边上来回走。所以我们可以考虑分情况考虑：
- \(i\leq m\)，我们可以直接暴力\(dp\)进行计算，类似于bellman-ford算法枚举边进行更新求最长路即可；
- \(i> m\)，显然后面的若干边反复横跳，主要处理这种情况。
将式子写出来，记\(f_i(e,k)\)为我们通过\(k\)条边到\(e_u\)或者\(e_v\)，之后\(i-k\)条边反复横跳，那么：
- \(\displaystyle f_i(e,k)=max(d[u][k],d[v][k])+(i-k)\cdot w(e)\)
显然一条边的贡献为\(\displaystyle f_i(e)=max_{k=1}^{n-1}\{f_i(e,k)\}\)，那么最终答案\(ans_i=max_{e}f_i(e)\)。
那么现在处理\(f_i(e,k)\)，我们可以写为：
- \(\displaystyle f_i(e,k)=max(d[u][k],d[v][k])-k\cdot w(e)+i\cdot w(e)\)
可以看作一条直线，斜率为\(w(e)\)，纵截距为\(max(d[u][k],d[v][k])-k\cdot w(e)\)。显然\(f_i(e)\)只可能纵截距越大越优。
所以现在每个\(f_e(i)\)因为边不同为若干直线，对于每个\(i\)我们只用取最上端的即可。
一般这种貌似求一个凸包就行，但这个题因为数据范围不是很大，我们可以直接暴力枚举，枚举每一条边在最上面所在的区间\([l,r]\)，然后可以直接快速计算。
假设现在枚举\(i\)，考虑另外一个\(j\)，现在有直线\(y_i=w(i)\cdot i+b_i,y_jw(j)\cdot j+b_j\)，我们令\(y_i>y_j\)即可确定出一段区间。这个区间上下限会不断缩小，如果最终合法直接计算即可。
细节见代码，主要是思路，这种线段取最优的题在图论中貌似还是挺常见的。
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/17 18:34:51
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 2000 + 5, MOD = 1e9 + 7;
int n, m;
ll q;
int u[N], v[N], w[N];
ll dp[2][N], b[N];
int ans;
void run() {
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> u[i] >> v[i] >> w[i];
}
memset(dp, -INF, sizeof(dp));
memset(b, -INF, sizeof(b));
dp[0][1] = 0;
int ans = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[i & 1][u[j]] = max(dp[i & 1][u[j]], dp[(i - 1) & 1][v[j]] + w[j]);
dp[i & 1][v[j]] = max(dp[i & 1][v[j]], dp[(i - 1) & 1][u[j]] + w[j]);
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
b[j] = max(b[j], max(dp[i & 1][u[j]], dp[i & 1][v[j]]) - 1ll * i * w[j]);
}
ans = (ans + *max_element(dp[i & 1] + 1, dp[i & 1] + n + 1)) % MOD;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
ll l = n, r = q;
for (int j = 1; l <= r && j <= m; j++) if (i != j) {
ll K = w[i] - w[j];
ll B = b[j] - b[i];
if (K > 0) {
l = max(l, B / K + 1);
} else if (K < 0) {
r = min(r, B / K);
} else {
if (!(B < 0 || (B == 0 && j > i))) {
r = -1;
}
}
}
if (l <= r) {
ans = ((ll)ans + (l + r) * (r - l + 1) / 2 % MOD * w[i] % MOD + b[i] * (r - l + 1) % MOD) % MOD;
if (ans < 0) ans += MOD;
}
}
cout << ans << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
G. Construct the String
题意：
给定\(s,t\)串。问最少删除几个字符使得\(f(s)=t\)。
\(f\)作用于\(s\)就类似于一个栈，依次考虑\(s_i\)，若\(s_i\not ={"."}\)，那么直接将\(s_i\)拼接在答案串后面；否则删除后面一个字符，没有就不删除。
\(n,m\leq 10000\)。
思路：
显然这种题考虑\(dp\)，因为\(n,m\)不算很大，并且时限比较宽松，所以可以考虑\(O(nm)\)的做法，只要常数不太大就行。
那么定义\(dp[i][j]\)表示\(s\)匹配到了\(i\)，\(t\)匹配到了\(j\)的最小删除个数。
显然我们要考虑几种情况：
- 直接匹配，向\(dp[i+1][j+1]\)转移；
- 删除\(s_i\)，向\(dp[i+1][j]\)转移；
- 保留字符，可能会有两种情况，一种是向\(dp[i+1][j]\)转移，另一种是向\(dp[i+1][j-1]\)转移。
第三种转移情况不好处理，因为我们可能会存在保留若干个，中间会删除某些，并且回退的情况，直接这样\(dp\)是无能为力的。
注意我们保留字符时，这个字符最后是一定要被删掉的（否则就匹配，第一种考虑了），那么我们直接找到一个最近的位置满足这段刚好能被自己删除就行，也就是说我们往\(dp[i+next[i]][j]\)转移。
- 为什么直接往最近转移最优？因为后面的情况我们也能从\(dp[i+next[i]][j]\)转移过去，所以一定不会差。
- 为什么这样转移是正确的？考虑刚刚说的那种情况，要在中间删除一些，那么这种其实先删除\(s_i\)是等价的。这时我们像\(dp[i+1][j]\)转移即可。
所以第三种情况我们可以直接向\(nxt[i]\)转移，并且能保证\(dp\)正确性。
这个题感觉第三种情况的转换这里还是挺巧妙的，很多时候\(dp\)都要发现题目中隐含的信息，这样能够简化\(dp\)的转移。
代码不难：
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/18 10:42:35
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
#define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
void err() { std::cout << std::endl; }
template<typename T, typename...Args>
void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
template <template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
void run() {
string s, t;
cin >> s >> t;
int n = s.length(), m = t.length();
vector <int> nxt(n, -1);
for (int i = 0; i < n; i++) if (s[i] != '.') {
int t = 0;
for (int j = i; j < n; j++) {
if (s[j] != '.') ++t;
else --t;
if (t == 0) {
nxt[i] = j;
break;
}
}
}
vector <vector <int>> dp(n + 1, vector <int>(m + 1, INF));
dp[0][0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
//match
if (j < m && s[i] == t[j]) {
dp[i + 1][j + 1] = min(dp[i + 1][j + 1], dp[i][j]);
}
//skip
dp[i + 1][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j] + 1);
//forward & back
if (s[i] != '.' && nxt[i] != -1) {
dp[nxt[i] + 1][j] = min(dp[nxt[i] + 1][j], dp[i][j]);
}
}
}
cout << dp[n][m] << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
重要的是自信，一旦有了自信，人就会赢得一切。
