【bzoj4001】[TJOI2015]概率论（卡特兰数+生成函数+数学期望）

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题意：
对于一棵随机生成的\(n\)个结点的有根二叉树，计算叶子结点个数的期望。

思路：
显然根据期望的定义我们可以得到：假设\(f(n)\)为\(n\)个结点的叶子个数和，\(g(n)\)为\(n\)个结点时二叉树的个数，那么答案即为\(\displaystyle \frac{g(n)}{f(n)}\)。
其中\(\displaystyle g(n)=\sum_{i=0}^{n-1}g(i)\cdot g(n-1-i)\)，显然为卡特兰数，即\(\displaystyle g(n)=\frac{1}{n+1}\cdot {2n\choose n}\)。
考虑怎么求\(f(n):\)

\[f(n)=2\cdot\sum_{i=0}^{n-1}f(i)\cdot g(n-1-i) \]

接下来考虑用生成函数求解有\(\displaystyle f=2x*f*g+x\)，后面加上\(x\)是考虑\(f(1)=1\)的情况。
那么\(\displaystyle f=\frac{x}{1-2x*g}\)，因为\(g\)的生成函数为\(\displaystyle \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)，那么\(\displaystyle f=\frac{x}{\sqrt{1-4x}}\)。
然后将分母用广义牛顿二项式定理展开：

\[\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1-4x}}=&(1-4x)^{-\frac{1}{2}}\\ =&\sum_{i=0}^{\infin}{-\frac{1}{2}\choose i}(-4x)^i\\ =&\sum_{i=0}^{\infin}\frac{(-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{3}{2})\cdots (-\frac{2i-1}{2})}{i!}(-4)^ix^i\\ =&\sum_{i=0}^{\infin}\frac{1\cdot 3\cdots (2i-1)}{2^{i}\cdot i!}4^ix^i\\ =&\sum_{i=0}^{\infin}\frac{(2i-1)!}{2^i\cdot i!\cdot 2\cdot 4\cdots (2i-2)}4^ix^i\\ =&\sum_{i=0}^{\infin}\frac{(2i-1)!}{2^{2i-1}\cdot i!\cdot (i-1)!}4^ix^i\\ =&\sum_{i=0}^{\infin}2\cdot {2i-1\choose i}x^i\\ =&\sum_{i=0}^{\infin}{2i\choose i}x^i \end{aligned} \]

所以\(f\)的第\(n\)项系数即为\(\displaystyle{2i-2\choose i-1}\)。
那么最终答案也很好求了，为\(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2(2n-1)}\)。
代码略。