回文自动机的一点思考

今年多校有这样一道题：传送门

做法如果直接dfs暴力跳fail指针，跳到一个标记了的结点就break，跑得很快，后面有群友说只需要跳一次fail指针即可。
当时没怎么想明白，今天来看又想了一下，发现证明并不难，只需要分几种情况即可，我就直接放图吧：

**总结: **

在许多的自动机中都存在fail指针，并且结点与其指向结点通常含有包含关系，所以fail指针是求解子串问题强有力的工具。
平时我们暴力跳fail复杂度一般为\(O(n^2)\)的，但在回文自动机中，因为对称性，只需跳一次即可，复杂度就变为\(O(n)\)。