洛谷 P1073 最优贸易

我们维护\(d[i,0/1]\)，其中\(d[i,0]\)表示从1到\(i\)号结点经过路径中的最小值，\(d[i,1]\)表示从\(n\)出发到\(i\)的最大值。之后可以考虑枚举中转站\(i\)，利用\(d[i,1]-d[i,0]\)来更新答案即可。这样做的正确性就是这样可以覆盖所有的情况（肯定会经过一个中转站。

这里我用的dijkstra来对\(d\)数组进行维护。具体方法为：

假设我们现在求\(d[i,0]\)，那么我们维护一个小根堆，之后像dijkstra那样转移就行了。因为当结点\(u\)被选出来时，\(u\)的前驱要么已经用来更新，要么其\(dis\)是大于\(d[u]\)的。因此就可以知道，当某个结点去更新其它结点时，它不会再被其它结点重新更新，这样正确性就可以保证了。

对于\(d[i,1]\)分析也同理，这时需要维护一个大根堆。就不赘述了。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 5, M = 5e5 + 5;
int n, m;
int a[N] ;
struct mm{
    int x, y, z;
}edges[N];
struct Edge{
    int v, next;
}e[M << 1];
struct node{
    int u, d;
    bool operator < (const node &A) const {
        return d > A.d;
    }
};
int head[N], tot;
void adde(int u, int v) {
    e[tot].v = v; e[tot].next = head[u]; head[u] = tot++;
}
int d[N][2];
bool vis[N] ;
void Dij1(int s, int p) {
    memset(vis, 0, sizeof(vis)) ;
    d[s][p] = a[s];
    priority_queue <pair<int, int> > q;
    q.push(mp(a[s], s)) ;
    while(!q.empty()){
        pair<int, int> now = q.top(); q.pop() ;
        int u = now.second, dis = now.first;
        if(vis[u]) continue ;
        vis[u] = 1;
        for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
            int v = e[i].v;
            if(d[v][p] < max(dis, a[v])) {
                d[v][p] = max(dis, a[v]) ;
                q.push(mp(d[v][p], v)) ;
            }
        }
    }
}
void Dij2(int s, int p) {
    memset(vis, 0, sizeof(vis)) ;
    for(int i = 1; i <= n; i++) d[i][p] = INF;
    d[s][p] = a[s];
    priority_queue <node> q;
    q.push(node{s, a[s]}) ;
    while(!q.empty()){
        node now = q.top(); q.pop() ;
        int u = now.u, dis = now.d;
        if(vis[u]) continue ;
        vis[u] = 1;
        for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
            int v = e[i].v;
            if(d[v][p] > min(dis, a[v])) {
                d[v][p] = min(dis, a[v]) ;
                q.push(node{v, d[v][p]}) ;
            }
        }
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    memset(head, -1, sizeof(head)); tot = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] ;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        edges[i] = mm{x, y, z} ;
        adde(x, y) ;
        if(z == 2) adde(y, x) ;
    }
    Dij2(1, 0);
    memset(head, -1, sizeof(head)); tot = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int x = edges[i].x, y = edges[i].y, z = edges[i].z ;
        adde(y, x);
        if(z == 2) adde(x, y) ;
    }
    Dij1(n, 1) ;
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        ans = max(ans ,d[i][1] - d[i][0]) ;
    cout << ans ;
    return 0;
}