BZOJ1898: [Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼（矩阵乘法）

1898: [Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1898

Description

潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是2，3或者4个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从Start出发，经过K个单位时间后恰好站在石墩End上。假设石墩可以重复经过（包括Start和End），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。

Input

输入文件共M + 2 + NFish行。第一行包含五个正整数N，M，Start，End和K，分别表示石墩数目、石桥数目、Start石墩和End石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用0到N–1的整数编号。第2到M + 1行，给出石桥的相关信息。每行两个整数x和y，0 ≤ x, y ≤ N–1，表示这座石桥连接着编号为x和y的两座石墩。第M + 2行是一个整数NFish，表示食人鱼的数目。第M + 3到M + 2 + NFish行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是T，T = 2，3或4，表示食人鱼的运动周期。接下来有T个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。 如果T＝2，接下来有2个数P0和P1，食人鱼从P0到P1，从P1到P0，……； 如果T＝3，接下来有3个数P0，P1和P2，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P0，……； 如果T＝4，接下来有4个数P0，P1，P2和P3，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P3，从P3到P0，……。豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的P0位置，请放心，这个位置不会是Start石墩。

Output

输出路线的种数，因为这个数可能很大，你只要输出该数除以10000的余数就行了。 【约定】 1 ≤ N ≤ 50  1 ≤ K ≤ 2,000,000,000  1 ≤ NFish ≤ 20

Sample Input

6 8 1 5 3
0 2
2 1
1 0
0 5
5 1
1 4
4 3
3 5
1
3 0 5 1

Sample Output

2

 

题解：

第一次遇见这种题= =感觉还是比较神奇的，设A为图的邻接矩阵，现在有A=A^n，那么变换过后的A(i,j)表示从i到j长度为n的路径一共有多少条（点可以重复经过）。至于这个为什么是正确的，yy一下就好了。

这个题中他给出的是时间K，也就是相当于我们这里的长度嘛。但是这题中有限制条件，也就是会有一些鱼来干扰你，某些时刻，有些点不能走。

主要是这里干扰怎么去处理。这里如果一个鱼在i时刻到达石柱j，那么我们将i时刻的邻接矩阵的第j列全置为0。这样表达的含义就是在第i时刻时，不能经过j这个点。

这里鱼游动的周期为2,3,4，我们一个一个来看还是有点麻烦，所以直接找他的最小公倍数12，将12作为一个周期来对待，就相当于将他们整体来对待了。

对于K%12余下的时间，就直接暴力来乘就行了。

具体见代码吧：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 55,MOD = 10000;
int n,m,st,en,F;
ll k;
ll mp[N][N],b[N],ans[N][N];
struct matrix{
    ll A[N][N];
    int n,m;
    matrix(){
        memset(A,0,sizeof(A));
    }
    void eye(){
        for(int i=1;i<=n;i++) A[i][i]=1;
    }
    void Print(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                cout<<A[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
}a[20];
matrix operator * (const matrix &a,const matrix &b){
    matrix ans;
    ans.n=a.n;ans.m=b.m;
    for(int i=1;i<=ans.n;i++){
        for(int j=1;j<=ans.m;j++){
            for(int k=1;k<=b.n;k++){
                ans.A[i][j]=(ans.A[i][j]+a.A[i][k]*b.A[k][j]%MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    return ans ;
}
matrix operator + (const matrix &a,const matrix &b){
    matrix ans;
    ans.n=a.n;ans.m=a.m;
    for(int i=1;i<=ans.n;i++){
        for(int j=1;j<=ans.m;j++){
            ans.A[i][j]=(a.A[i][j]+b.A[i][j])%MOD;
        }
    }
    return ans ;
}
matrix qp_Mat(matrix a,ll b){
    matrix ans;
    ans.n=ans.m=a.n;
    for(int i=1;i<=ans.n;i++) ans.A[i][i]=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans ;
}
int main(){
    cin>>n>>m>>st>>en>>k;
    st++;en++;
    for(int i=0;i<=12;i++) a[i].n=a[i].m=n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        u++;v++;
        for(int j=1;j<=12;j++) a[j].A[u][v]=a[j].A[v][u]=1;
    }
    scanf("%d",&F);
    for(int i=1,K;i<=F;i++){
        scanf("%d",&K);
        for(int j=0;j<K;j++) cin>>b[j],b[j]++;
        for(int j=1;j<=12;j++){
            int now=j%K;
            for(int kk=1;kk<=n;kk++) a[j].A[kk][b[now]]=0;
        }
    }
    matrix Mat,Ans;
    Mat.n=Mat.m=Ans.n=Ans.m=n;
    a[0].eye();
    for(int i=1;i<=12;i++){
        a[0]=a[0]*a[i];
    }
    Ans=qp_Mat(a[0],k/12);
    if(k%12==0){
        printf("%d",Ans.A[st][en]);
        return 0;
    }
    int r=k%12;
    for(int i=1;i<=r;i++) Ans=Ans*a[i];
    printf("%d",Ans.A[st][en]);
    return 0;
}