牛客网暑期ACM多校训练营（第十场）D Rikka with Prefix Sum （数学）

Rikka with Prefix Sum

题意：

给出一个数组a，一开始全为0，现在有三种操作：

1.  1 L R W，让区间[L,R]里面的数全都加上W；

2.  2     将a数组变为其前缀和数组；

3.   3 L R 询问此时a数组区间[L,R]的和。

 

题解：

第一种操作我们可以简化为a[L]+W，a[R+1]-W，利用差分数组的思想。

接下来这一步使关键，考虑i这个位置有值a[i]，然后经过多次2操作对后面的值的贡献，先可以从a[i]=1考虑，然后推广就是了= =

发现1这个数对后面位置的贡献随着位置的增加与组合数有关，这个可以自己去找下规律。

然后还有一个就是求区间和的时候，可以从组合数的性质C(i,j)=C(i-1,j-1)+C(i-1,j)去推导。

最后一点，由于一开始我们对区间修改是对点修改的，假设对点修改后进行了i次2操作，现在求区间和时，其实是求i+1次2操作后的区间和，这一步如果之前第二步推好了是很好解决的。

注意上面几点是息息相关的，需要自己耐心地找规律。

 

另外再稍微提醒一下，由于组合数二维数组预处理空间开不下，所以只能利用阶乘来算，后面取模时就涉及到了逆元。如果不清楚逆元可以去看看 费马小定理。

逆元可以直接用快速幂来求，但我直接求T了，所以用一个数组事先预处理一下...

因此要预处理两个数组出来，同时数组长度要开大一倍，这把上面推好了自然就知道了~

 

给出代码吧：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5+5,MOD = 998244353;
int t,n,m,tot;
int l[N],r[N],w[N],s[N];
ll fac[N],inv[N];
ll qp(ll a,ll b){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans ;
}
ll C(ll a,ll b){
    return fac[a]*qp(fac[b]*fac[a-b]%MOD,MOD-2)%MOD;
}
ll query(ll L,ll R,ll cnt){
    if(L-1<0) return C(cnt+R+2,R)%MOD;
    return ((C(cnt+R+2,R)-C(cnt+L+1,L-1))%MOD+MOD)%MOD;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=2e5;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    while(t--){
        tot=0;memset(s,0,sizeof(s));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int op;
            scanf("%d",&op);
            if(op==1){
                scanf("%d%d%d",&l[tot],&r[tot],&w[tot]);
                r[tot]++;
                tot++;
            }else if(op==2) s[tot-1]++;
            else{
                int L,R;
                scanf("%d%d",&L,&R);
                ll ans = 0;
                int cnt = 0;
                for(int i=tot-1;i>=0;i--){
                    cnt+=s[i];
                    if(l[i]<=R)
                        ans=(ans+(ll)w[i]*query(max(l[i],L)-l[i],R-l[i],cnt-1)%MOD)%MOD;
                    if(r[i]<=R)
                        ans=(ans-(ll)w[i]*query(max(r[i],L)-r[i],R-r[i],cnt-1)%MOD+MOD)%MOD;
                }
                printf("%lld\n",ans);
            }
        }
    }
    return 0;
}