全局路径规划 - 02 蚁群算法

算法流程：

设整个蚂蚁群中蚂蚁的数量为 $m$ ，城市的数量为 $n$ ，城市 $i$ 与城市 $j$ 之间的相互距离为 $d_{ij} \left( i,j=1,2,\cdots,n \right)$ ， $t$ 时刻城市与城市连接路径上的信息素浓度为 $\tau_{ij} \left(t\right)$ 。初始时刻，各个城市间连接路径上的信息素浓度相同，不妨设为 $\tau_{ij} \left(0\right) = \tau_0$ 。
蚂蚁 $k\left(k=1,2,……,m\right)$ 根据各个城市间连接路径上的信息素浓度决定其下一个访问城市，设 $P_{ij}^k \left( t\right)$ 表示时刻 $t$ 蚂蚁 $k$ 从城市 $i$ 转移到城市 $j$ 的概率，其计算公式如下：

$P_{ij}^k= \begin{cases} \frac {\left[ \tau_{ij} \left( t \right) \right] ^ \alpha \cdot \left[ \eta_{ij} \left( t \right) \right] ^ \beta } {\sum_{s \in {\text{allow}_k}} \left[ \tau_{is} \left( t \right) \right] ^ \alpha \cdot \left[ \eta_{is} \left( t \right) \right] ^ \beta }, & {s \in \text {allow}_k } \\ 0, & {s \notin \text {allow}_k } \end{cases}$
其中， $\eta_{ij} \left( t \right)$ 为启发函数，， $\eta_{ij} \left( t \right)=\frac {1}{d_{ij}}$ 表示蚂蚁从城市 $i$ 转移到城市 $j$ 的期望程度， $\text {allow}_k$ 为蚂蚁 $k$ 待访问城市的集合。开始时， $\text {allow}_k$ 中有个 $\left ( n-1 \right)$ 元素，即包括了蚂蚁 $k$ 除了发城市的其他所有城市。随着时间的推进， $\text {allow}_k$ 中的元素不断减少，直至为空，即表示所有的城市都访问完毕， $\alpha$ 为信息素重要程度因子，其值越大，表示信息素的浓度在转移中起的作用越大； $\beta$ 为启发函数重要程度因子，其值越大，表示启发函数在转移中的作用越大，即蚂蚁会以较大的概率转移到距离短的城市。
在蚂蚁释放信息素的同时，各个城市间连接路径上的信息素逐渐小时，设参数 $\rho \left ( 0 < \rho < 1 \right)$ 表示信息素的挥发程度。因此，当所有蚂蚁完成一次循环后，各个城市间连接路径上的信息素浓度需要进行实时更新，具体公式如下：

$\tau _{ij} \left( t+1 \right) = \left( 1-\rho \right) \times \tau_{ij} \left( t\right) + \Delta \tau _{ij},\, 0 < \rho <1 \\ \Delta \tau_{ij} = \Sigma_{k=1}^{m} \Delta \tau_{ij}^k$
其中， $\Delta \tau_{ij}^k$ 表示第 $k$ 只蚂蚁在城市 $i$ 与城市 $j$ 连接路径上释放的信息素浓度， $\Delta \tau_{ij}$ 表示所有蚂蚁在城市 $i$ 与城市 $j$ 连接路径上释放的信息素浓度之和。