斐波那契额数列及青蛙跳台阶问题
题目:写一个函数,输入n,求斐波那契(Fibonacci)数列的第n项。
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斐波那契(Fibonacci)数列定义如下:
效率很低的解法:
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n) { if(n <= 0) return 0; if(n == 1) return 1; return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2); }
改进的算法:从下往上计算。首先根据f(0)和f(1)算出f(2),再根据f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此类推就可以算出第n项了。很容易理解,这种思路的时间复杂度是o(n)。实现代码如下:
long long Fibonacci(unsigned n) { int result[2] = {0 , 1}; if(n < 2) return result[n]; long long fibMinusOne = 1; long long fibMinusTwo = 0; for(unsigned int i = 2 ; i <= n ; ++i) { fibN = fibMinusOne + fibMinusTwo; fibMinusTwo = fibMinusOne; fibMinusOne = fibN; } return fibN; }
题目:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
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可以把n级台阶时的跳法看成是n的函数,记为f(n)。当n>2时,第一次跳的时候就有两种不同的选择:一是第一次只跳1级,此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目,即为f(n-1);另一种选择是第一次跳2级,此时跳法数目等于后面剩下n-2级台阶的跳法数目,即为f(n-2)。因此,n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到这里,不难看出这实际上就是斐波那契数列了。
#include<iostream> using namespace std; long Fibonacci_Solution1(unsigned int n) { if(n <= 0) return 0; if(n == 1) return 1; return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2); } int main() { int n; cin>>n; cout<<Fibonacci_Solution1(n)<<endl; return 0; }
在青蛙跳台阶的问题中,如果把条件改成:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。。。。。它也可以跳上n级,此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法?
用数学归纳法可以证明f(n)=2n-1.
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