【高中数学/指数函数、对数函数】已知函数f(x)=e^x+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则以下不等式中成立的是?
【问题】
已知函数f(x)=e^x+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则以下不等式中成立的是?
A.ab>1
B.e^a+lnb<2
C.a^2+b^2<3
D.a^2/b^2>1/4
【解答】
首选注意到 函数f(x)=e^x+x-2的零点a为e^x=2-x的解,即函数y=e^x与函数y=2-x的交点,同理,函数g(x)=lnx+x-2的零点b为函数y=lnx与y=2-x的交点。
将以上四个函数绘出图线如下:
【图一】
由图一可以看出,a和b是关于直线y=x对称的,ab的中点即y=x与y=2-x的交点(1,1),由此得到a+b=2,且ax=by,ay=bx.
由图可以估测,ax=0.5=by,bx=1.5=ax
对于选项A,a*b=ax*bx=0.5*1.5=0.75<1,故A不正确;
对于选项C,a^2+b^2=0.25+2.25=2.5<3 故C正确;
对于选项D,a^2/b^2=0.25/2.25=1/7<1/4故D不正确;
对于选项B,因为e^a=ay=1.5,lnb=by=ax=0.5,ay+ax=2,故B不正确。
综上,通过绘图和简单的代入,就能确定正确项C。
考试时如果了解e^x和lnx的对称关系,假以稍精确的绘图,也能得到以上结论。
【绘制图线的Canvas代码】
<!DOCTYPE html> <html lang="utf-8"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/> <head> <title>UNASSIGNED</title> <style type="text/css"> .centerlize{ margin:0 auto; border:0px solid red; width:1200px;height:600px; } </style> </head> <body onload="draw();"> <div class="centerlize"> <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;"> 如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas,请更换浏览器再试. </canvas> </div> </body> </html> <script type="text/javascript"> <!-- /***************************************************************** * 将全体代码拷贝下来,粘贴到文本编辑器中,另存为.html文件, * 再用chrome浏览器打开,就能看到动画效果。 ******************************************************************/ // 系统常量定义处 const TITLE="f(x)=e^x+x-2的零点为a,g(x)=lnx+x-2的零点为b"; // 图像标题 const WIDTH=1200; // 画布宽度 const HEIGHT=600; // 画布高度 const SCALE_UNIT=50; // 缩放比例 // 系统变量定义处 var context=0; // 画布环境 var stage; // 舞台对象 var timeElapsed=0; // 动画运作的的时间 const TIME_END=100000; // 动画运作的期限 //------------------------------- // Canvas开始运作,由body_onload调用 //------------------------------- function draw(){ document.title=TITLE; // 画图前初始化 var canvas=document.getElementById('myCanvas'); canvas.width=WIDTH; canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换 // 处置完成前,原点在左上角,向右为X正向,向下为Y的正向 // 处置完毕后,原点移动到画布中央,向右为X正向,向上为Y的正向 context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2); context.rotate(Math.PI); context.scale(-1,1); // 初始化舞台 stage=new Stage(); // 开始动画 animate(); }; //------------------------------- // 画图 //------------------------------- function animate(){ timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1 stage.update(timeElapsed); stage.paintBg(context); stage.paint(context); if(timeElapsed<TIME_END){ window.requestAnimationFrame(animate); } } //------------------------------- // 舞台对象定义处 //------------------------------- function Stage(){ // 内置对象(非必要勿更改) var obj=new Object; // 对象下的曲线数组(非必要勿更改) obj.curves=[]; // 塞入曲线1(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=e^x", xEnd:5, x:-5, y:0, color:"maroon", setY:function(x){ this.y=Math.pow(Math.E,x);// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 塞入曲线2(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=lnx", xEnd:5, x:0, y:0, color:"orange", setY:function(x){ this.y=Math.log(x);// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 塞入曲线3(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=x", xEnd:5, x:-5, y:0, color:"blue", setY:function(x){ this.y=x;// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 塞入曲线4(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=2-x", xEnd:5, x:-5, y:0, color:"green", setY:function(x){ this.y=2-x;// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 随时间更新位置(非必要勿更改) obj.update=function(t){ for(var i=0;i<this.curves.length;i++){ var curve=this.curves[i]; if(curve.x<curve.xEnd){ curve.x+=0.01; curve.setY(curve.x); } } }; // 画前景 obj.paint=function(ctx){ // 手动标记点 paintPoint(ctx,0.4428,2-0.4428,"a","blue"); paintPoint(ctx,2-0.4428,0.4428,"b","blue"); // 文字左上角位置(可手动修改设定值) const X_START=-430; // 文字横起点 const Y_START=-75; // 文字纵起点 const OFFSET=50; // 文字间隔 // 遍历曲线数组(非必要勿更改) for(var i=0;i<this.curves.length;i++){ var curve=this.curves[i]; // 曲线名称 drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,curve.color,18); // 曲线当前点坐标 drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,curve.color,18); // 绘制曲线 if(curve.pts0){ paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts0); // 绘制曲线分段1的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts0); //markMaxMin(ctx,mm,curve.color); } if(curve.pts1){ paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts1); // 绘制曲线分段2的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts1); //markMaxMin(ctx,mm,curve.color); } if(curve.pts2){ paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts2); // 绘制曲线分段3的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts2); //markMaxMin(ctx,mm,curve.color); } if(curve.pts3){ paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts3); // 绘制曲线分段4的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts3); //markMaxMin(ctx,mm,curve.color); } } }; // 画背景(非必要不更改) obj.paintBg=function(ctx){ // 清屏 ctx.clearRect(-600,-300,1200,600); ctx.fillStyle="white"; ctx.fillRect(-600,-300,1200,600); // 画X轴 drawAxisX(ctx,-600,600,50); // 画Y轴 drawAxisY(ctx,-300,300,50); // 画网格线 drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50); // 左上角标题 var metrics = ctx.measureText(TITLE); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18); // 右下角作者,日期 const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString(); metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt); textWidth = metrics.width; drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16); }; return obj; } // 描绘并标识一个点 function paintPoint(ctx,x,y,text,color){ ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,4,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.strokeStyle=color; ctx.stroke(); var metrics = ctx.measureText(text); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT+textWidth+2,y*SCALE_UNIT-5,color,12); } // 连点成线画曲线 function paintCurve(ctx,color,cds){ ctx.strokeStyle = color; ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){ let y=cds[i].y; if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){ ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT); } } ctx.stroke(); } // 找到坐标数组的最大最小值 function findMaxMin(cds){ if(cds.length<1){ return null; } var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0}; for(var i=0;i<cds.length;i++){ var y=cds[i].y; if(y>retval.max){ retval.max=y; retval.max_x=cds[i].x; } if(y<retval.min){ retval.min=y; retval.min_x=cds[i].x; } } return retval; } // 绘出最大最小值 function markMaxMin(ctx,mm,color){ if(mm==null){ return; } // 最大值 var x=mm.max_x; var y=mm.max; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3); drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12); // 最小值 var x=mm.min_x; var y=mm.min; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3); drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12); } // 定点画实心圆 function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI); ctx.fillStyle=color; ctx.fill(); ctx.restore(); } // 两点之间画线段 function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1,y1); ctx.lineTo(x2,y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); ctx.restore(); } // 画横轴 function drawAxisX(ctx,start,end,step){ const AXISY_COLOR="black"; ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(start, 0); ctx.lineTo(end, 0); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10); ctx.lineTo(end, 0); ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; y=5; for(x=start;x<end;x+=step){ if(x==0){ continue; } ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, 0); ctx.lineTo(x, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); drawText(ctx,x/SCALE_UNIT+"",x,y-20,AXISY_COLOR,12); } ctx.restore(); } // 画纵轴 function drawAxisY(ctx,start,end,step){ const AXISY_COLOR="black"; ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, start); ctx.lineTo(0, end); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.lineTo(0, end); ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; x=5; for(y=start;y<end;y+=step){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y); ctx.lineTo(0, y); var text=y/SCALE_UNIT+""; var metrics = ctx.measureText(text); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } ctx.restore(); } // 画网格线 function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle="lightgrey"; // 分十格 var x,y; for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y1); ctx.lineTo(x, y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1, y); ctx.lineTo(x2, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } // 十小格间的分割线 ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle="grey"; ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段 for(x=x1;x<x2;x+=step1){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y1); ctx.lineTo(x, y2); ctx.stroke(); } for(y=y1;y<y2;y+=step2){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1, y); ctx.lineTo(x2, y); ctx.stroke(); } ctx.restore(); } //------------------------------- // 角度得到弧度 //------------------------------- function getRad(degree){ return degree/180*Math.PI; } //------------------------------- // 得到颜色 //------------------------------- function getColor(index){ var arr=[ "aqua" /* aqua湖绿色*/, "black" /* black黑色*/, "blue" /* blue蓝色*/, "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/, "green" /* green 绿色*/, "grey" /* grey 草木灰*/, "lime" /* lime 亮绿色*/, "maroon" /* maroon 棕色*/, "navy" /* navy 海军蓝*/, "orange" /* orange 橙色*/, "purple" /* purple 紫色*/, "red" /* red 大红*/, "skyblue"/* skyblue 天蓝*/, "teal" /* teal 蓝绿色*/, "yellow" /* yellow 亮黄*/, "#88815d"/* # 雪松*/, "#4f876c"/* # 伊甸园绿*/, "#97572b"/* # 皮革褐*/, "#b79777"/* # 卡其*/, "#d7ccb6"/* # 象牙白*/, "#414142"/* # 木炭艺术*/, "#764136"/* # 焦棕*/, "#46515a"/* # 深板岩*/, "#3c281e"/* # 巧克力*/, "#681414"/* # 铁锈红*/, ]; return arr[index % arr.length]; } //------------------------------------- // 绘制文字,指定颜色 // ctx:绘图环境 // text:文字 // x,y:坐标 // color:颜色 // size:字体大小 //------------------------------------- function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ ctx.save(); ctx.translate(x,y) ctx.rotate(getRad(180)) ctx.scale(-1,1) ctx.textBaseline="bottom"; ctx.textAlign="center"; ctx.fillStyle=color; ctx.font = size+"px consolas"; ctx.fillText(text,0,0); ctx.restore(); } // JS开立方 function kaiLiFang(x){ if(x>0){ return Math.pow(x,1/3); }else{ return -Math.pow(-x,1/3); } } //--> /************************************** 要成为一名优秀的程序员并非只要有梦想就可以, 它是一个生命不止、奋斗不息的历程。 没有天生的英雄, 也没人生来平凡, 是我们自己成就了自己。 --修改自《心》片段(夏目漱石,日本,1914) **************************************/ </script>
【找到a点横坐标的Java代码】
package test240719; /** * 牛顿中值法求e^x=2-x的根 * @author 逆火 * */ public class Test { public static void main(String[] args) { double start=0; double end =1; double result=99; int idx=0; while(Math.abs(result)>0.00001){ double mid=(start+end)/2; result=Math.pow(Math.E,mid)+mid-2;//解析式 idx++; System.out.println("#"+idx+".strat="+format(start)+" mid="+format(mid)+" end="+format(end)+" result="+format(result)); if(result>0){ end=mid; }else{ start=mid; } } System.out.println("使用牛顿中值法求得e^x=2-x的近似解="+end); } /** * 返回保留五位小数的字符串 * @param d * @return */ public static String format(double d){ java.text.DecimalFormat df =new java.text.DecimalFormat("#0.00000"); return df.format(d); } }
【牛顿中值法代码的输出】
#1.strat=0.00000 mid=0.50000 end=1.00000 result=0.14872 #2.strat=0.00000 mid=0.25000 end=0.50000 result=-0.46597 #3.strat=0.25000 mid=0.37500 end=0.50000 result=-0.17001 #4.strat=0.37500 mid=0.43750 end=0.50000 result=-0.01367 #5.strat=0.43750 mid=0.46875 end=0.50000 result=0.06675 #6.strat=0.43750 mid=0.45312 end=0.46875 result=0.02635 #7.strat=0.43750 mid=0.44531 end=0.45312 result=0.00629 #8.strat=0.43750 mid=0.44141 end=0.44531 result=-0.00370 #9.strat=0.44141 mid=0.44336 end=0.44531 result=0.00129 #10.strat=0.44141 mid=0.44238 end=0.44336 result=-0.00121 #11.strat=0.44238 mid=0.44287 end=0.44336 result=0.00004 #12.strat=0.44238 mid=0.44263 end=0.44287 result=-0.00058 #13.strat=0.44263 mid=0.44275 end=0.44287 result=-0.00027 #14.strat=0.44275 mid=0.44281 end=0.44287 result=-0.00011 #15.strat=0.44281 mid=0.44284 end=0.44287 result=-0.00004 #16.strat=0.44284 mid=0.44286 end=0.44287 result=0.00000 使用牛顿中值法求得e^x=2-x的近似解=0.4428558349609375
END