猜想：一组勾股数a^2+b^2=c^2中，a,b之一必为4的倍数。

证明：

勾股数可以写成如下形式

a=m²-n²

b=2mn

c=m²+n²

而m,n按奇偶分又以下四种情况

m　　n

奇　　偶　　①

偶　　奇　　②

偶　　偶　　③

奇　　奇　　④

上面①②③三种情况中，mn中存在至少一个偶数，这个偶数里的2和b=2mn原有的2相乘得4，所以①②③三种情况下b必然是4的倍数。

而情况④中，b不再是4的倍数，让我们来看看a的情况

设m=2k+1,n=2j+1

则a=m²-n²=(2k+1)²-(2j+1)²=4k²+4k+1-(4j²+4j+1)=4(k²+k-j²-j)

明显，这种情况下，是4的倍数的是a

 

综上所述，四种情况下，a,b之一必然是4的倍数，列表如下： 

m　　n

奇　　偶　　①　　b是4的倍数

偶　　奇　　②　　b是4的倍数

偶　　偶　　③　　b是4的倍数

奇　　奇　　④　　a是4的倍数

证毕。