【高中数学/不等式/数学归纳法/等比数列】证明伯努利不等式(1+h)^n>1+nh的三种方式
【伯努利不等式】
(1+h)^n>1+nh （h>0,n为大于1的自然数）
【数学归纳法证法】
证明：
n=2时，(1+h)^2=1+2h+h^2>1+2h 不等式成立
n=3时，(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3>1+3h 不等式成立
假设n=k时，有(1+h)^k>1+kh
则n=k+1时，(1+h)^(k+1）=(1+h)^k*(1+h)>(1+kh)(1+h)=1+(1+k)h+kh^2>1+(1+k)h 不等式成立
综上知对于n>1的整数，伯努利不等式(1+h)^n>1+nh 均成立
【等比数列证法】
证明：
有等比数列1，1+h，(1+h)^2，......，(1+h)^(n-1)
其和为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) (a1=1,q=1+h)
=1(1-(1+h)^n)/(1-(1+h))
=((1+h)^n-1)/h
把两边写成即为
((1+h)^n-1)/h=1+ 1+h + (1+h)^2+......+(1+h)^(n-1)>1+1+1+......+1=n
展开即得(1+h)^n>1+nh
【函数图像证法】
伯努利不等式原型为(1+h)^n>1+nh
以x代1+h,则
左边=x^n 右边=1+n(x-1）
两边同减一得
左边=x^n-1 右边=n(x-1)
从函数解析式可以看出，左边是幂函数下移一个单位，右边是过(1,0)点的直线；两曲线都过(1,0)点，过此点后，左边的增速远高于右边，即x>1时，x^n-1>n(x-1)
y=n(x-1)的斜率为n，y=x^n-1的斜率为y'=nx^(n-1)当，x-1时，y'=n.
故曲线y=x^n-1在(1,0)点与直线y=n(x-1)相切，之后前者就逐渐甩开后者。
以下时n取2，3，4时两者的对比图：
依次类推，可见n>1时，x^n-1>n(x-1)
将x=1+h代回得
(1+h)^n-1>n(1+h-1)
即(1+h)^n>nh+1
注：第三种方法不算严格证明，但非常直观。
【绘制图线的Canvas代码】
<!DOCTYPE html> <html lang="utf-8"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/> <head> <title>UNASSIGNED</title> <style type="text/css"> .centerlize{ margin:0 auto; border:0px solid red; width:1200px;height:600px; } </style> </head> <body onload="draw();"> <div class="centerlize"> <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;"> 如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试. </canvas> </div> </body> </html> <script type="text/javascript"> <!-- /***************************************************************** * 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件， * 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。 ******************************************************************/ // 系统常量定义处 const TITLE="直观证明伯努利不等式 (当n=3时)"; // 图像标题 const WIDTH=1200; // 画布宽度 const HEIGHT=600; // 画布高度 const SCALE_UNIT=50; // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6] // 系统变量定义处 var context=0; // 画布环境 var stage; // 舞台对象 var timeElapsed=0; // 动画运作的的时间 const TIME_END=100000; // 动画运作的期限 //------------------------------- // Canvas开始运作，由body_onload调用 //------------------------------- function draw(){ document.title=TITLE; // 画图前初始化 var canvas=document.getElementById('myCanvas'); canvas.width=WIDTH; canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换 // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向 // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向 context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2); context.rotate(Math.PI); context.scale(-1,1); // 初始化舞台 stage=new Stage(); // 开始动画 animate(); }; //------------------------------- // 画图 //------------------------------- function animate(){ timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1 stage.update(timeElapsed); stage.paintBg(context); stage.paint(context); if(timeElapsed<TIME_END){ window.requestAnimationFrame(animate); } } //------------------------------- // 舞台对象定义处 //------------------------------- function Stage(){ // 内置对象(非必要勿更改) var obj=new Object; // 对象下的曲线数组(非必要勿更改) obj.curves=[]; // 塞入曲线1(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:f(x)=x^3-1", xEnd:4, x:0, y:0, setY:function(x){ this.y=Math.pow(x,3)-1;// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 塞入曲线2(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:f(x)=3(x-1)", xEnd:4, x:0, y:0, setY:function(x){ this.y=3*(x-1);// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 随时间更新位置(非必要勿更改) obj.update=function(t){ for(var i=0;i<this.curves.length;i++){ var curve=this.curves[i]; if(curve.x<curve.xEnd){ curve.x+=0.01; curve.setY(curve.x); } } }; // 画前景 obj.paint=function(ctx){ // 手动标记点 //paintPoint(ctx,2,2/Math.log(2),"a","navy"); //paintPoint(ctx,3,3/Math.log(3),"b","navy"); //paintPoint(ctx,Math.E,Math.E,"c","navy"); // 文字左上角位置(可手动修改设定值) const X_START=-230; // 文字横起点 const Y_START=150; // 文字纵起点 const OFFSET=50; // 文字间隔 // 遍历曲线数组(非必要勿更改) for(var i=0;i<this.curves.length;i++){ var curve=this.curves[i]; var color=getColor(i); // 曲线名称 drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18); // 曲线当前点坐标 drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18); // 绘制曲线 if(curve.pts0){ paintCurve(ctx,color,curve.pts0); // 绘制曲线分段1的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts0); //markMaxMin(ctx,mm,color); } if(curve.pts1){ paintCurve(ctx,color,curve.pts1); // 绘制曲线分段2的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts1); //markMaxMin(ctx,mm,color); } if(curve.pts2){ paintCurve(ctx,color,curve.pts2); // 绘制曲线分段3的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts2); //markMaxMin(ctx,mm,color); } if(curve.pts3){ paintCurve(ctx,color,curve.pts3); // 绘制曲线分段4的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts3); //markMaxMin(ctx,mm,color); } if(curve.pts4){ paintCurve(ctx,color,curve.pts4); // 绘制曲线分段4的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts3); //markMaxMin(ctx,mm,color); } } }; // 画背景(非必要不更改) obj.paintBg=function(ctx){ // 清屏 ctx.clearRect(-600,-300,1200,600); ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)"; ctx.fillRect(-600,-300,1200,600); // 画X轴 drawAxisX(ctx,-600,600,50); // 画Y轴 drawAxisY(ctx,-300,300,50); // 画网格线 drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50); // 左上角标题 var metrics = ctx.measureText(TITLE); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18); // 右下角作者，日期 const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString(); metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt); textWidth = metrics.width; drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16); }; return obj; } // 描绘并标识一个点 function paintPoint(ctx,x,y,text,color){ var xReal=x*SCALE_UNIT; var yReal=y*SCALE_UNIT; ctx.strokeStyle=color; ctx.lineWidth=0.5; // 划线 ctx.save(); ctx.setLineDash([5,5]); ctx.beginPath(); ctx.moveTo(xReal,0); ctx.lineTo(xReal,yReal); ctx.lineTo(0,yReal); ctx.stroke(); ctx.restore(); // 画圈 ctx.beginPath(); ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); // 写文字 var metrics = ctx.measureText(text); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12); } // 连点成线画曲线 function paintCurve(ctx,color,cds){ ctx.save(); ctx.strokeStyle = color; ctx.lineWidth=1; ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){ let y=cds[i].y; if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){ ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT); } } ctx.stroke(); ctx.restore(); } // 找到坐标数组的最大最小值 function findMaxMin(cds){ if(cds.length<1){ return null; } var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0}; for(var i=0;i<cds.length;i++){ var y=cds[i].y; if(y>retval.max){ retval.max=y; retval.max_x=cds[i].x; } if(y<retval.min){ retval.min=y; retval.min_x=cds[i].x; } } return retval; } // 绘出最大最小值 function markMaxMin(ctx,mm,color){ if(mm==null){ return; } // 最大值 var x=mm.max_x; var y=mm.max; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3); drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12); // 最小值 var x=mm.min_x; var y=mm.min; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3); drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12); } // 定点画实心圆 function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI); ctx.fillStyle=color; ctx.fill(); ctx.restore(); } // 两点之间画线段 function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1,y1); ctx.lineTo(x2,y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); ctx.restore(); } // 画横轴 function drawAxisX(ctx,start,end,step){ const AXISY_COLOR="black"; ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(start, 0); ctx.lineTo(end, 0); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10); ctx.lineTo(end, 0); ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; y=5; for(x=start;x<end;x+=step){ if(x==0){ continue; } ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, 0); ctx.lineTo(x, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); var text=formatScale(x/SCALE_UNIT); drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12); } ctx.restore(); } // 画纵轴 function drawAxisY(ctx,start,end,step){ const AXISY_COLOR="black"; ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, start); ctx.lineTo(0, end); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.lineTo(0, end); ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; x=5; for(y=start;y<end;y+=step){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y); ctx.lineTo(0, y); var text=formatScale(y/SCALE_UNIT); var metrics = ctx.measureText(text); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } ctx.restore(); } //------------------------------- // 得到整型后的刻度 //------------------------------- function formatScale(scale){ var s=scale*10; if(s % 5==0){ return scale+""; }else{ return scale.toFixed(2); } } // 画网格线 function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle="lightgrey"; // 分十格 var x,y; for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y1); ctx.lineTo(x, y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1, y); ctx.lineTo(x2, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } // 十小格间的分割线 ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle="grey"; ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段 for(x=x1;x<x2;x+=step1){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y1); ctx.lineTo(x, y2); ctx.stroke(); } for(y=y1;y<y2;y+=step2){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1, y); ctx.lineTo(x2, y); ctx.stroke(); } ctx.restore(); } //------------------------------- // 角度得到弧度 //------------------------------- function getRad(degree){ return degree/180*Math.PI; } //------------------------------- // 得到颜色 //------------------------------- function getColor(index){ var arr=[ "maroon" /* 栗色 */, "orange" /* 橙色 */, "blue" /* 蓝色 */, "green" /* 绿色 */, "fuchsia"/* 紫红 */, "grey" /* 灰色 */, "lime" /* 酸橙 */, "navy" /* 海蓝 */, "purple" /* 紫色 */, "skyblue"/* 天蓝 */, "teal" /* 蓝绿 */, "yellow" /* 亮黄 */, "aqua" /* 湖绿 */, "red" /* 红色 */, "black" /* 黑色 */, ]; return arr[index % arr.length]; } //------------------------------------- // 绘制文字,指定颜色 // ctx:绘图环境 // text:文字 // x,y:坐标 // color:颜色 // size:字体大小 //------------------------------------- function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ ctx.save(); ctx.translate(x,y) ctx.rotate(getRad(180)) ctx.scale(-1,1) ctx.textBaseline="bottom"; ctx.textAlign="center"; ctx.fillStyle=color; ctx.font = size+"px consolas"; ctx.fillText(text,0,0); ctx.restore(); } // JS开立方 function kaiLiFang(x){ if(x>0){ return Math.pow(x,1/3); }else{ return -Math.pow(-x,1/3); } } //--> /**************************************** 遇到事情，要学会沉住气，在默默无闻中积攒 力量，等待厚积薄发的一天。 ****************************************/ </script>
END
