【高中数学/等比数列/基本不等式】已知正项等比数列{an}满足a_4^2=a_m*a_n,则9/m+1/n的最小值为？

【问题】

（甘肃高台县第一中学某年模拟测试（文））已知正项等比数列{an}满足a_4^2=a_m*a_n,则9/m+1/n的最小值为？

【出处】

《高考数学极致解题大招》P119 典例16 中原教研工作室编著

【解答】

a_4=aq^3

a_4^2=a^2*q^6

a_m=aq^m-1

a_n=aq^n-1

因为a_4^2=a_m*a_n，所以q^6=q^m+n-2,即m+n=8

9/m+1/n=9/m*(m+n)/8+1/n*(m+n)/n=10/8+9n/8m+m/8n>=10/8+2*3/8=16/8=2

所以9/m+1/n的最小值为2.

END