【高中数学/排列组合】编号为1，2，3，4，5，6的六个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的六个座位，其中有且仅有两个人的编号与座位号一致的坐法有几种？
【问题】
编号为1，2，3，4，5，6的六个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的六个座位，其中有且仅有两个人的编号与座位号一致的坐法有几种？
【来源】
《高考数学排列组合题型解题研究》P8 例26
原题是小球放盒子，这里把小球换成了人，盒子换成了座位。
【数学解法】
首先，选两个人（假定为5，6）坐到相同号码的座位上，有C(6,2)种方案；
剩下的1，2，3，4四个人，要求坐到和自己编号完全不同的座位上，若有一个相同便不成立；
其次，选一个人（假定为4）做到编号为1的座位上，有C(3,1)种方案；
现在是1，2，3三个人要做到2，3，4的座位上，简单列举一下知道有
1，2，3
1，3，2
2，1，3
2，3，1
3，1，2
3，2，1 共六种情况；
这六种里，第一位不能为2，第二位不能为3，因此只剩下：
1，2，3
3，1，2
3，2，1 共三种情况
综上，总的方案有C(6,2)*C(3,1)*3=15*3*3=135种
【程序解法】
程序解决此问题相对简单，思路是将6人全排列后，留下座位编号相同只有两个的就行了。代码如下：
主类代码：
package test241015; import java.util.ArrayList; import java.util.List; /** * 编号为1，2，3，4，5，6的五个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的五个座位 * 其中有且仅有两个人的编号与座位号一致的坐法有几种？ * * 2024年10月15日 */ public class Test241012 { public static void main(String[] args) { int[] nums= {1,2,3,4,5,6}; Arranger arger = new Arranger(nums,nums.length); int idx = 0; for (List<Integer> line : arger.getResults()) { List<Integer> corrects=new ArrayList<>(); int count=0; for(int i=0;i<6;i++) { if(i+1==line.get(i)) { count++; corrects.add(i+1); } } if(count==2) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + line+" @"+corrects); } } } }
全排列类代码：
package test241015; import java.util.ArrayList; import java.util.List; /** * 用于产生排列结果的工具类 * 从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列。得到所有排列的方案 */ class Arranger { // 保存在内部的对原始元素数组的引用 private int[] arr; // 总计多少元素，此即数组长度 private final int n; // 选多少个 private final int m; // 返回结果 private List<List<Integer>> results; /** * 构造函数一 * 这个构造函数是用于全排列的（n=m=数组长度） * * @arr 原始元素数组 */ public Arranger(int[] arr) { this.arr = arr; this.n = arr.length; this.m = arr.length; this.results = new ArrayList<>(); doArrange(new ArrayList<>()); } /** * 构造函数二 * 这个构造函数是用于部分排列的(m<n=数组长度) * * @param arr 原始元素数组 * @param selCnt 选多少个 */ public Arranger(int[] arr, int selCnt) { this.arr = arr; this.n = arr.length; this.m = selCnt; if (m > n) { throw new ArrayIndexOutOfBoundsException("m:" + m + " >n:" + n); } this.results = new ArrayList<>(); doArrange(new ArrayList<>()); } /** * 使用递归进行全排列，结果放在results中 * * @param initialList 初始链表 */ private void doArrange(List<Integer> initialList) { List<Integer> innerList = new ArrayList<>(initialList); if (m == initialList.size()) { results.add(innerList); } for (int i = 0; i < arr.length; i++) { if (innerList.contains(arr[i])) { continue; } innerList.add(arr[i]); doArrange(innerList); innerList.remove(innerList.size() - 1); } } /** * 获得结果链表的引用 * * @return */ public List<List<Integer>> getResults() { return results; } // 测试 public static void main(String[] args) { int[] numbers = {1, 2, 3, 4}; Arranger arranger = new Arranger(numbers); System.out.println("四元素全排列示例:"); int idx = 0; for (List<Integer> re : arranger.getResults()) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re); } /*Arranger arranger2 = new Arranger(numbers, 2); System.out.println("\n四选二排列示例:"); idx = 0; for (List<Integer> re : arranger2.getResults()) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re); }*/ } }
【程序输出结果】
01.[1, 2, 4, 3, 6, 5] @[1, 2] 02.[1, 2, 4, 5, 6, 3] @[1, 2] 03.[1, 2, 4, 6, 3, 5] @[1, 2] 04.[1, 2, 5, 3, 6, 4] @[1, 2] 05.[1, 2, 5, 6, 3, 4] @[1, 2] 06.[1, 2, 5, 6, 4, 3] @[1, 2] 07.[1, 2, 6, 3, 4, 5] @[1, 2] 08.[1, 2, 6, 5, 3, 4] @[1, 2] 09.[1, 2, 6, 5, 4, 3] @[1, 2] 10.[1, 3, 2, 4, 6, 5] @[1, 4] 11.[1, 3, 2, 5, 4, 6] @[1, 6] 12.[1, 3, 2, 6, 5, 4] @[1, 5] 13.[1, 3, 4, 5, 2, 6] @[1, 6] 14.[1, 3, 4, 6, 5, 2] @[1, 5] 15.[1, 3, 5, 2, 4, 6] @[1, 6] 16.[1, 3, 5, 4, 6, 2] @[1, 4] 17.[1, 3, 6, 2, 5, 4] @[1, 5] 18.[1, 3, 6, 4, 2, 5] @[1, 4] 19.[1, 4, 2, 5, 3, 6] @[1, 6] 20.[1, 4, 2, 6, 5, 3] @[1, 5] 21.[1, 4, 3, 2, 6, 5] @[1, 3] 22.[1, 4, 3, 5, 6, 2] @[1, 3] 23.[1, 4, 3, 6, 2, 5] @[1, 3] 24.[1, 4, 5, 2, 3, 6] @[1, 6] 25.[1, 4, 5, 3, 2, 6] @[1, 6] 26.[1, 4, 6, 2, 5, 3] @[1, 5] 27.[1, 4, 6, 3, 5, 2] @[1, 5] 28.[1, 5, 2, 3, 4, 6] @[1, 6] 29.[1, 5, 2, 4, 6, 3] @[1, 4] 30.[1, 5, 3, 2, 6, 4] @[1, 3] 31.[1, 5, 3, 6, 2, 4] @[1, 3] 32.[1, 5, 3, 6, 4, 2] @[1, 3] 33.[1, 5, 4, 2, 3, 6] @[1, 6] 34.[1, 5, 4, 3, 2, 6] @[1, 6] 35.[1, 5, 6, 4, 2, 3] @[1, 4] 36.[1, 5, 6, 4, 3, 2] @[1, 4] 37.[1, 6, 2, 3, 5, 4] @[1, 5] 38.[1, 6, 2, 4, 3, 5] @[1, 4] 39.[1, 6, 3, 2, 4, 5] @[1, 3] 40.[1, 6, 3, 5, 2, 4] @[1, 3] 41.[1, 6, 3, 5, 4, 2] @[1, 3] 42.[1, 6, 4, 2, 5, 3] @[1, 5] 43.[1, 6, 4, 3, 5, 2] @[1, 5] 44.[1, 6, 5, 4, 2, 3] @[1, 4] 45.[1, 6, 5, 4, 3, 2] @[1, 4] 46.[2, 1, 3, 4, 6, 5] @[3, 4] 47.[2, 1, 3, 5, 4, 6] @[3, 6] 48.[2, 1, 3, 6, 5, 4] @[3, 5] 49.[2, 1, 4, 3, 5, 6] @[5, 6] 50.[2, 1, 5, 4, 3, 6] @[4, 6] 51.[2, 1, 6, 4, 5, 3] @[4, 5] 52.[2, 3, 4, 1, 5, 6] @[5, 6] 53.[2, 3, 5, 4, 1, 6] @[4, 6] 54.[2, 3, 6, 4, 5, 1] @[4, 5] 55.[2, 4, 1, 3, 5, 6] @[5, 6] 56.[2, 4, 3, 5, 1, 6] @[3, 6] 57.[2, 4, 3, 6, 5, 1] @[3, 5] 58.[2, 5, 1, 4, 3, 6] @[4, 6] 59.[2, 5, 3, 1, 4, 6] @[3, 6] 60.[2, 5, 3, 4, 6, 1] @[3, 4] 61.[2, 6, 1, 4, 5, 3] @[4, 5] 62.[2, 6, 3, 1, 5, 4] @[3, 5] 63.[2, 6, 3, 4, 1, 5] @[3, 4] 64.[3, 1, 4, 2, 5, 6] @[5, 6] 65.[3, 1, 5, 4, 2, 6] @[4, 6] 66.[3, 1, 6, 4, 5, 2] @[4, 5] 67.[3, 2, 1, 4, 6, 5] @[2, 4] 68.[3, 2, 1, 5, 4, 6] @[2, 6] 69.[3, 2, 1, 6, 5, 4] @[2, 5] 70.[3, 2, 4, 5, 1, 6] @[2, 6] 71.[3, 2, 4, 6, 5, 1] @[2, 5] 72.[3, 2, 5, 1, 4, 6] @[2, 6] 73.[3, 2, 5, 4, 6, 1] @[2, 4] 74.[3, 2, 6, 1, 5, 4] @[2, 5] 75.[3, 2, 6, 4, 1, 5] @[2, 4] 76.[3, 4, 1, 2, 5, 6] @[5, 6] 77.[3, 4, 2, 1, 5, 6] @[5, 6] 78.[3, 5, 1, 4, 2, 6] @[4, 6] 79.[3, 5, 2, 4, 1, 6] @[4, 6] 80.[3, 6, 1, 4, 5, 2] @[4, 5] 81.[3, 6, 2, 4, 5, 1] @[4, 5] 82.[4, 1, 2, 3, 5, 6] @[5, 6] 83.[4, 1, 3, 5, 2, 6] @[3, 6] 84.[4, 1, 3, 6, 5, 2] @[3, 5] 85.[4, 2, 1, 5, 3, 6] @[2, 6] 86.[4, 2, 1, 6, 5, 3] @[2, 5] 87.[4, 2, 3, 1, 6, 5] @[2, 3] 88.[4, 2, 3, 5, 6, 1] @[2, 3] 89.[4, 2, 3, 6, 1, 5] @[2, 3] 90.[4, 2, 5, 1, 3, 6] @[2, 6] 91.[4, 2, 5, 3, 1, 6] @[2, 6] 92.[4, 2, 6, 1, 5, 3] @[2, 5] 93.[4, 2, 6, 3, 5, 1] @[2, 5] 94.[4, 3, 1, 2, 5, 6] @[5, 6] 95.[4, 3, 2, 1, 5, 6] @[5, 6] 96.[4, 5, 3, 1, 2, 6] @[3, 6] 97.[4, 5, 3, 2, 1, 6] @[3, 6] 98.[4, 6, 3, 1, 5, 2] @[3, 5] 99.[4, 6, 3, 2, 5, 1] @[3, 5] 100.[5, 1, 2, 4, 3, 6] @[4, 6] 101.[5, 1, 3, 2, 4, 6] @[3, 6] 102.[5, 1, 3, 4, 6, 2] @[3, 4] 103.[5, 2, 1, 3, 4, 6] @[2, 6] 104.[5, 2, 1, 4, 6, 3] @[2, 4] 105.[5, 2, 3, 1, 6, 4] @[2, 3] 106.[5, 2, 3, 6, 1, 4] @[2, 3] 107.[5, 2, 3, 6, 4, 1] @[2, 3] 108.[5, 2, 4, 1, 3, 6] @[2, 6] 109.[5, 2, 4, 3, 1, 6] @[2, 6] 110.[5, 2, 6, 4, 1, 3] @[2, 4] 111.[5, 2, 6, 4, 3, 1] @[2, 4] 112.[5, 3, 1, 4, 2, 6] @[4, 6] 113.[5, 3, 2, 4, 1, 6] @[4, 6] 114.[5, 4, 3, 1, 2, 6] @[3, 6] 115.[5, 4, 3, 2, 1, 6] @[3, 6] 116.[5, 6, 3, 4, 1, 2] @[3, 4] 117.[5, 6, 3, 4, 2, 1] @[3, 4] 118.[6, 1, 2, 4, 5, 3] @[4, 5] 119.[6, 1, 3, 2, 5, 4] @[3, 5] 120.[6, 1, 3, 4, 2, 5] @[3, 4] 121.[6, 2, 1, 3, 5, 4] @[2, 5] 122.[6, 2, 1, 4, 3, 5] @[2, 4] 123.[6, 2, 3, 1, 4, 5] @[2, 3] 124.[6, 2, 3, 5, 1, 4] @[2, 3] 125.[6, 2, 3, 5, 4, 1] @[2, 3] 126.[6, 2, 4, 1, 5, 3] @[2, 5] 127.[6, 2, 4, 3, 5, 1] @[2, 5] 128.[6, 2, 5, 4, 1, 3] @[2, 4] 129.[6, 2, 5, 4, 3, 1] @[2, 4] 130.[6, 3, 1, 4, 5, 2] @[4, 5] 131.[6, 3, 2, 4, 5, 1] @[4, 5] 132.[6, 4, 3, 1, 5, 2] @[3, 5] 133.[6, 4, 3, 2, 5, 1] @[3, 5] 134.[6, 5, 3, 4, 1, 2] @[3, 4] 135.[6, 5, 3, 4, 2, 1] @[3, 4]
【结论】
程序输出和理论结算结果一致，可以相互印证。
END
