【高中数学/排列组合】编号为1，2，3，4，5的五个人分别去坐编号为1，2，3，4，5的五个座位，其中有且仅有两个人的编号与座位号一致的坐法有几种？
【问题】
编号为1，2，3，4，5的五个人分别去坐编号为1，2，3，4，5的五个座位，其中有且仅有两个人的编号与座位号一致的坐法有几种？
A.10种
B.20种
C.30种
D.60种
【出处】
《高中数学 排列组合题型解题研究(新高考)》P8例25 中原教研工作室编著
【数学解答】
五个人乱坐有A(5,5)=120种，ABCD皆在其内，均未排除
假定1，2两个人与座位号一致，剩下的3，4，5三个要选编号为3，4，5的座位，要求编号不能与座位号一致
3号座位只能在4，5中选一，假定为4；4号座位只能选5，选3的话5号座位就与编号5的重了；然后5号座位没得选，只能拿剩下的3.由此看两个座位号和人编号对上后，剩下的三人三座只能有2种排法；
五个座位中选两个座位有C(5,2)种情况，因此总排法就是C(5,2)*2=5*4/2/1*2=20种。选B。
【程序解答】
程序解答就相对容易了，把A(5,5)的全排列列出，然后筛选出编号和序号对应的方案即可。
全排列类代码：
package test241012; import java.util.ArrayList; import java.util.List; /** * 用于产生排列结果的工具类 * 从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列。得到所有排列的方案 */ class Arranger { // 保存在内部的对原始元素数组的引用 private int[] arr; // 总计多少元素，此即数组长度 private final int n; // 选多少个 private final int m; // 返回结果 private List<List<Integer>> results; /** * 构造函数一 * 这个构造函数是用于全排列的（n=m=数组长度） * * @arr 原始元素数组 */ public Arranger(int[] arr) { this.arr = arr; this.n = arr.length; this.m = arr.length; this.results = new ArrayList<>(); doArrange(new ArrayList<>()); } /** * 构造函数二 * 这个构造函数是用于部分排列的(m<n=数组长度) * * @param arr 原始元素数组 * @param selCnt 选多少个 */ public Arranger(int[] arr, int selCnt) { this.arr = arr; this.n = arr.length; this.m = selCnt; if (m > n) { throw new ArrayIndexOutOfBoundsException("m:" + m + " >n:" + n); } this.results = new ArrayList<>(); doArrange(new ArrayList<>()); } /** * 使用递归进行全排列，结果放在results中 * * @param initialList 初始链表 */ private void doArrange(List<Integer> initialList) { List<Integer> innerList = new ArrayList<>(initialList); if (m == initialList.size()) { results.add(innerList); } for (int i = 0; i < arr.length; i++) { if (innerList.contains(arr[i])) { continue; } innerList.add(arr[i]); doArrange(innerList); innerList.remove(innerList.size() - 1); } } /** * 获得结果链表的引用 * * @return */ public List<List<Integer>> getResults() { return results; } // 测试 public static void main(String[] args) { int[] numbers = {1, 2, 3, 4}; Arranger arranger = new Arranger(numbers); System.out.println("四元素全排列示例:"); int idx = 0; for (List<Integer> re : arranger.getResults()) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re); } /*Arranger arranger2 = new Arranger(numbers, 2); System.out.println("\n四选二排列示例:"); idx = 0; for (List<Integer> re : arranger2.getResults()) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re); }*/ } }
主类代码：
package test241012; import java.util.ArrayList; import java.util.List; /** * 编号为1，2，3，4，5的五个人分别去坐编号为1，2，3，4，5的五个座位 * 其中有且仅有两个人的编号与座位号一致的坐法有几种？ * * 2024年10月12日 */ public class Test241012 { public static void main(String[] args) { int[] nums= {1,2,3,4,5}; Arranger arger = new Arranger(nums,nums.length); int idx = 0; for (List<Integer> line : arger.getResults()) { List<Integer> corrects=new ArrayList<>(); int count=0; for(int i=0;i<5;i++) { if(i+1==line.get(i)) { count++; corrects.add(i+1); } } if(count==2) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + line+" @"+corrects); } } } }
【程序输出结果】
01.[1, 2, 4, 5, 3] @[1, 2] 02.[1, 2, 5, 3, 4] @[1, 2] 03.[1, 3, 4, 2, 5] @[1, 5] 04.[1, 3, 5, 4, 2] @[1, 4] 05.[1, 4, 2, 3, 5] @[1, 5] 06.[1, 4, 3, 5, 2] @[1, 3] 07.[1, 5, 2, 4, 3] @[1, 4] 08.[1, 5, 3, 2, 4] @[1, 3] 09.[2, 3, 1, 4, 5] @[4, 5] 10.[2, 4, 3, 1, 5] @[3, 5] 11.[2, 5, 3, 4, 1] @[3, 4] 12.[3, 1, 2, 4, 5] @[4, 5] 13.[3, 2, 4, 1, 5] @[2, 5] 14.[3, 2, 5, 4, 1] @[2, 4] 15.[4, 1, 3, 2, 5] @[3, 5] 16.[4, 2, 1, 3, 5] @[2, 5] 17.[4, 2, 3, 5, 1] @[2, 3] 18.[5, 1, 3, 4, 2] @[3, 4] 19.[5, 2, 1, 4, 3] @[2, 4] 20.[5, 2, 3, 1, 4] @[2, 3]
【结论】
数学解答和程序解法途径不同，结论一致，可以相互印证。
END
