【Canvas与数学】等腰直角三角形ABC的直角边长为4，等腰直角三角形AED的直角边长为2，AED绕A点旋转，连接BD，CE交于M点。求三角形BMC的面积最值。
【题目】
等腰直角三角形ABC的直角边长为4，等腰直角三角形AED的直角边长为2，
AED绕A点旋转，连接BD，CE交于M点。
求三角形BMC的面积最值。
【思路】
在纸上绘制几次后，可知BD与CE的交点M轨迹类似于圆，BM垂直于CM。
三角形BMC的面积底是固定的，M的纵坐标决定了BMC的面积。
M的坐标可以由两直线交点求出来，往下就方便了。
【图像】
以下是BMC面积最小时的图像和参数，和惯常思维认为的AD垂直向下时BMC面积最小不同，实际上是∠OAD=15°是BMC面积最小。
以下是BMC面积最大时的图像和参数。
以下是BMC面积介于最大最小值之间的图像和参数。
M点的完整轨迹
【代码】
<!DOCTYPE html> <html lang="utf-8"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/> <head> <title>UNASSIGNED</title> <style type="text/css"> .centerlize{ margin:0 auto; border:0px solid red; width:1200px;height:600px; } </style> </head> <body onload="draw();"> <div class="centerlize"> <canvas id="myCanvas" width="1200px" height="600px" style="border:1px dashed black;"> 如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试. </canvas> </div> </body> </html> <script type="text/javascript"> <!-- /***************************************************************** * 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来，粘贴到文本编辑器中， * 另存为.html文件，再用chrome浏览器打开，就能看到实现效果。 ******************************************************************/ /*---------------------------------------------------------------- 此代码要解决的几何问题： 等腰直角三角形ABC的直角边长为4，等腰直角三角形AED的直角边长为2， AED绕A点旋转，连接BD，CE交于M点。 求三角形BMC的面积最值。 ----------------------------------------------------------------*/ // 画布宽度 const WIDTH=1200; // 画布高度 const HEIGHT=600; // 画布环境 var context=0; // 缩放比例,建议设定为25的倍数，值大看细节，值小看全貌 const ScaleUnit=50; // 舞台对象 var stage; // 消逝的时间，在此场景中等于theta角 var timeElapsed=0; // 图像标题，title const TITLE=" 求三角形MBC的面积最值"; // 核心勾画函数，由body_onload调用 function draw(){ document.title=TITLE+" 图示"; // 画图前初始化 var canvas=document.getElementById('myCanvas'); canvas.width=WIDTH; canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换 // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向 // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向 context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2); context.rotate(Math.PI); context.scale(-1,1); //context.translate(0,0); //context.scale(1,1); // 初始化舞台 stage=new Stage(); // 开始动画 animate(); }; //------------------------------- // 画图 //------------------------------- function animate(){ timeElapsed+=0.1;// 时间每轮增加1，这里消逝的时间等同于角度 stage.update(timeElapsed); stage.paintBg(context); stage.paint(context); // 15°对应最小面积，135°对应最大面积，375°转一圈停在最小面积处， if(timeElapsed<=375){ window.requestAnimationFrame(animate); } } //------------------------------- // 舞台对象定义处 //------------------------------- function Stage(){ var obj=new Object; // 需要记住的一些参数 obj.prpty={ "pts":[], // M的轨迹 "max":-100, // 三角形MBC最大面积 "min":100, // 三角形MBC最小面积 "max_theta":0, // 最大面积对应的角度 "min_theta":0, // 最小面积对应的角度 }; // 随时间更新位置 obj.update=function(t){ const LEN=2*Math.sqrt(2);// LEN即BO,OC,OA的长度，即BC的一半长 // ABC的坐标 obj.ax=0; obj.ay=LEN; obj.bx=-LEN; obj.by=0; obj.cx=LEN; obj.cy=0; // 设AE与x正向夹角为theta obj.theta=Math.PI/180*(timeElapsed % 360); // e的坐标 obj.ex=2*Math.cos(obj.theta)+obj.ax; obj.ey=2*Math.sin(obj.theta)+obj.ay; // d的坐标 obj.dx=2*Math.cos(obj.theta-Math.PI/2)+obj.ax; obj.dy=2*Math.sin(obj.theta-Math.PI/2)+obj.ay; // m的坐标 var kbd=(obj.dy-obj.by)/(obj.dx-obj.bx); var kce=(obj.cy-obj.ey)/(obj.cx-obj.ex); obj.mx=-2*Math.sqrt(2)*(kbd+kce)/(kbd-kce); obj.my=kbd*(obj.mx+2*Math.sqrt(2)); // 将m的坐标放入数组 let arr={"x":obj.mx,"y":obj.my}; obj.prpty.pts.push(arr); // 算MBC的面积 obj.mbc=obj.my*LEN; if(obj.prpty.max<obj.mbc){ obj.prpty.max=obj.mbc; obj.prpty.max_theta=timeElapsed % 360; } if(obj.prpty.min>obj.mbc){ obj.prpty.min=obj.mbc; obj.prpty.min_theta=timeElapsed % 360; } }; // 画前景 obj.paint=function(ctx){ // 画theta所在的弧，及AE与x轴的夹角 ctx.beginPath(); ctx.arc(obj.ax*ScaleUnit,obj.ay*ScaleUnit,1*ScaleUnit,0,obj.theta,false); ctx.lineWidth=1; ctx.strokeStyle="orange"; ctx.stroke(); drawText(ctx,"黄色大弧:AE与x轴正向之间的夹角",400,160,"navy",18); // A点向右的水平线，为了看出theta角 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(obj.ax*ScaleUnit,obj.ay*ScaleUnit); ctx.lineTo((obj.ax+4)*ScaleUnit,obj.ay*ScaleUnit); ctx.lineWidth=1; ctx.strokeStyle="grey"; ctx.stroke(); // 角OAD所在的弧，这个弧与theta是相等的 ctx.beginPath(); ctx.arc(obj.ax*ScaleUnit,obj.ay*ScaleUnit,0.5*ScaleUnit,-Math.PI/2,obj.theta-Math.PI/2,false); ctx.lineWidth=1; ctx.strokeStyle="orange"; ctx.stroke(); drawText(ctx,"黄色小弧:角OAD",400,140,"navy",18); drawText(ctx,"两弧相等",400,120,"navy",18); // 画三角形ABC ctx.beginPath(); ctx.lineTo(obj.ax*ScaleUnit,obj.ay*ScaleUnit); ctx.lineTo(obj.cx*ScaleUnit,obj.cy*ScaleUnit); ctx.lineTo(obj.bx*ScaleUnit,obj.by*ScaleUnit); ctx.closePath(); ctx.lineWidth=1; ctx.strokeStyle="RGB(118,65,54)"; ctx.stroke(); // 标记ABC点 markPoint(ctx,obj.ax,obj.ay,"A"); markPoint(ctx,obj.bx,obj.by,"B"); markPoint(ctx,obj.cx,obj.cy,"C"); // 画三角形AED ctx.beginPath(); ctx.lineTo(obj.ax*ScaleUnit,obj.ay*ScaleUnit); ctx.lineTo(obj.ex*ScaleUnit,obj.ey*ScaleUnit); ctx.lineTo(obj.dx*ScaleUnit,obj.dy*ScaleUnit); ctx.closePath(); ctx.lineWidth=1; ctx.strokeStyle="RGB(79,135,108)"; ctx.stroke(); // 标记de点 markPoint(ctx,obj.dx,obj.dy,"D"); markPoint(ctx,obj.ex,obj.ey,"E"); // BD连线 ctx.beginPath(); ctx.lineTo(obj.bx*ScaleUnit,obj.by*ScaleUnit); ctx.lineTo(obj.dx*ScaleUnit,obj.dy*ScaleUnit); ctx.lineWidth=1; ctx.strokeStyle="red"; ctx.stroke(); // CE连线 ctx.beginPath(); ctx.lineTo(obj.cx*ScaleUnit,obj.cy*ScaleUnit); ctx.lineTo(obj.ex*ScaleUnit,obj.ey*ScaleUnit); ctx.lineWidth=1; ctx.strokeStyle="blue"; ctx.stroke(); // 画三角形BCM ctx.beginPath(); ctx.lineTo(obj.bx*ScaleUnit,obj.by*ScaleUnit); ctx.lineTo(obj.mx*ScaleUnit,obj.my*ScaleUnit); ctx.lineTo(obj.cx*ScaleUnit,obj.cy*ScaleUnit); ctx.lineWidth=2; ctx.strokeStyle="black"; ctx.stroke(); // 标记m点 markPoint(ctx,obj.mx,obj.my,"M"); // 绘制曲线 paintCurve(ctx,"maroon",obj.prpty.pts); drawText(ctx,"暗红色大弧:M点的轨迹",400,-160,"navy",18); // 写当前Oh长度，角度 drawText(ctx,"S🔺mbc="+this.mbc.toFixed(3)+" @(x="+this.mx.toFixed(3)+",y= "+this.my.toFixed(3)+")",-400,125,"navy",18); // 写最大面积及对应的角度 drawText(ctx,"max:"+this.prpty.max.toFixed(3)+"@theta="+this.prpty.max_theta.toFixed(3),-400,105,"navy",18); // 写最小面积及对应的角度 drawText(ctx,"min:"+this.prpty.min.toFixed(3)+"@theta="+this.prpty.min_theta.toFixed(3),-400,85,"navy",18); }; // 画背景 obj.paintBg=function(ctx){ // 清屏 ctx.clearRect(-600,-300,1200,600); ctx.fillStyle="white"; ctx.fillRect(-600,-300,1200,600); // 画X轴 drawAxisX(ctx,-600,600,50); // 画Y轴 drawAxisY(ctx,-300,300,50); // 画网格线 drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"grey"); // 标题 drawText(ctx,""+TITLE+" 图示",-400,-160,"navy",18); // 作者，日期 drawText(ctx,"逆火",-500,-200,"navy",16); drawText(ctx,(new Date()).toLocaleDateString(),-500,-220,"navy",16); }; return obj; } /*---------------------------------------------------------- 函数:创建一个二维坐标点 x:横坐标 y:纵坐标 Pt即Point ----------------------------------------------------------*/ function createPt(x,y){ var retval={}; retval.x=x; retval.y=y; return retval; } // 函数：标记一个点 function markPoint(ctx,x,y,pointText){ ctx.save(); ctx.translate(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit); ctx.rotate(Math.PI); context.scale(-1,1); ctx.textBaseline="bottom"; ctx.textAlign="center"; ctx.fillStyle="black"; ctx.font = "10 px consolas"; ctx.fillText(pointText,0,0); ctx.restore(); } // 连点成线画曲线 function paintCurve(ctx,color,cds){ ctx.strokeStyle = color; ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){ let y=cds[i].y; if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){ ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit); } } ctx.stroke(); ctx.closePath(); } // 定点画实心圆 function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI); ctx.fillStyle=color; ctx.fill(); ctx.stroke(); ctx.restore(); } // 两点之间画线段 function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle=color; ctx.fillStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1,y1); ctx.lineTo(x2,y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); ctx.restore(); } // 画横轴 function drawAxisX(ctx,start,end,step){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle='navy'; ctx.fillStyle='navy'; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(start, 0); ctx.lineTo(end, 0); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10); ctx.lineTo(end, 0); ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; y=5; for(x=start;x<end;x+=step){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, 0); ctx.lineTo(x, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12); } ctx.restore(); } // 画纵轴 function drawAxisY(ctx,start,end,step){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle='navy'; ctx.fillStyle='navy'; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, start); ctx.lineTo(0, end); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.lineTo(0, end); ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; x=5; for(y=start;y<end;y+=step){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y); ctx.lineTo(0, y); drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } ctx.restore(); } // 画网格线 function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle=color; ctx.fillStyle=color; var x,y; for(x=x1;x<x2;x+=step1){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y1); ctx.lineTo(x, y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } for(y=y1;y<y2;y+=step2){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1, y); ctx.lineTo(x2, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } ctx.restore(); } //------------------------------- // 角度得到弧度 //------------------------------- function getRad(degree){ return degree/180*Math.PI; } //------------------------------- // 得到颜色 //------------------------------- function getColor(index){ var arr=[ "aqua" /* aqua湖绿色*/, "black" /* black黑色*/, "blue" /* blue蓝色*/, "fuchsia" /* fuchsia 紫红*/, "green" /* green 绿色*/, "grey" /* grey 草木灰*/, "lime" /* lime 亮绿色*/, "maroon" /* maroon 棕色*/, "navy" /* navy 海军蓝*/, "orange" /* orange 橙色*/, "purple" /* purple 紫色*/, "red" /* red 大红*/, "skyblue" /* skyblue 天蓝*/, "teal" /* teal 蓝绿色*/, "yellow" /* yellow 亮黄*/, "#aa0000" /* #aa0000 铁锈红*/, ]; if(index>arr.length){ index=index % arr.length; } return arr[index]; } //------------------------------------- // 绘制文字,指定颜色 // ctx:绘图环境 // text:文字 // x,y:坐标 // color:颜色 // size:字体大小 //------------------------------------- function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ ctx.save(); ctx.translate(x,y) ctx.rotate(getRad(180)) ctx.scale(-1,1) ctx.textBaseline="bottom"; ctx.textAlign="center"; ctx.fillStyle=color; ctx.font = size+"px consolas"; ctx.fillText(text,0,0); ctx.restore(); } /************************************************************************ 中国新四大发明引领全球智能新科技：
1.智能水表 2.智能电表 3.智能油表 4.智能燃气表
这四大智能新科技居然能在断水、断电、断油、断气的状态下理直气壮地跑字，
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