【Canvas与数学】在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将矩形ABCD绕C旋转得到矩形FGCE，连接AF，GE，H为AF中点，点O在线段GE上，且OE=2倍OG。求OH的最大值。

【问题】

在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将矩形ABCD绕C旋转得到矩形FGCE，连接AF，GE，H为AF中点，点O在线段GE上，且OE=2倍OG。求OH的最大值。

【思路】

此问题用欧式几何解决不易，用解析几何+三角函数可以顺畅推导得解。

解得: OH^2=50/9-10/3*Sin(θ+φ), 其中θ即两长方形间夹角∠BCG， Sinφ=3/5，Cosφ=4/5.

当Sin(θ+φ)=1时，OH取最小值2/3*√5，当Sin(θ+φ)=-1时，OH取最大值4/3*√5.

结论就是：当角BCG=233°时OH最大值为4/3*√5，即2.981，正好是对角线长度的2/3；当角BCG=53°时OH最小值为2/3*√5，即1.491，正好是对角线长度的1/3；

但解析几合得出的结论不易动态在图纸上表现出来，故用Canvas绘制动态图辅助之，动图最后停止在OH取最大值处。

最小值状态：

最大值状态：

 

【动态截图】

【代码】

复制代码
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>矩形旋转求OH的最大值</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body onload="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="1200px" height="600px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，
* 另存为.html文件，再用chrome浏览器打开，就能看到实现效果。
******************************************************************/

/*----------------------------------------------------------------
    此代码要解决的几何问题：
    在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，
    将矩形ABCD绕C旋转得到矩形FGCE，连接AF，GE，H为AF中点，
    点O在线段GE上，且OE=2倍OG。
    求OH的最大值。
----------------------------------------------------------------*/
// 画布宽度
const WIDTH=1200;

// 画布高度
const HEIGHT=600;

// 画布环境
var context=0;   

// 缩放比例,建议设定为25的倍数，值大看细节，值小看全貌
const ScaleUnit=50;

// 舞台对象
var stage;

// 消逝的时间
var timeElapsed=0;

// 图像标题，title
const TITLE=" 矩形旋转求OH的最大值";

// 核心勾画函数，由body_onload调用
function draw(){
    document.title=TITLE+" 图示";

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    //context.translate(0,0);
    //context.scale(1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1，这里消逝的时间等同于角度

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    // 953=2*360+233，让转两圈达到最大值
    if(timeElapsed<953){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    var obj=new Object;

    // 需要记住的一些参数
    obj.prpty={
        "oh":0,          // 当前OH长度
        "theta":0,       // 当前弧度
        "angle":0,       // 当前角度
        "max":-100,      // 最大OH值
        "min":100,       // 最小OH值
        "max_theta":0,   // 最大弧度值
        "min_theta":10,  // 最小弧度值
        "max_angle":0,   // 最大角度值
        "min_angle":10,  // 最小角度值
    };

    // 随时间更新位置
    obj.update=function(t){
        // ABCD的坐标
        obj.cx=0;
        obj.cy=0;
        obj.bx=-4;
        obj.by=0;
        obj.ax=-4;
        obj.ay=2;
        obj.dx=0;
        obj.dy=2;

        // 设角BCG为theta
        obj.theta=Math.PI/180*(timeElapsed % 360);

        // GEF的坐标
        obj.gx=-4*Math.cos(obj.theta);
        obj.gy=4*Math.sin(obj.theta);
        obj.ex=2*Math.sin(obj.theta);
        obj.ey=2*Math.cos(obj.theta);
        obj.fx=-4*Math.cos(obj.theta)+2*Math.sin(obj.theta);
        obj.fy=4*Math.sin(obj.theta)+2*Math.cos(obj.theta);

        // OH的坐标
        obj.ox=2/3*Math.sin(obj.theta)-8/3*Math.cos(obj.theta);
        obj.oy=2/3*Math.cos(obj.theta)+8/3*Math.sin(obj.theta);
        obj.hx=-2*Math.cos(obj.theta)+Math.sin(obj.theta)-2;
        obj.hy=2*Math.sin(obj.theta)+Math.cos(obj.theta)+1;

        // 求OH长度
        obj.oh=Math.sqrt((obj.ox-obj.hx)*(obj.ox-obj.hx)+(obj.oy-obj.hy)*(obj.oy-obj.hy));
        obj.prpty.oh=obj.oh;
        obj.prpty.theta=obj.theta;
        obj.prpty.angle=timeElapsed;

        // 取极值
        if(obj.oh<obj.prpty.min){
            obj.prpty.min=obj.oh;
            obj.prpty.min_theta=obj.theta;
            obj.prpty.min_angle=timeElapsed;
        }
        if(obj.oh>obj.prpty.max){
            obj.prpty.max=obj.oh;
            obj.prpty.max_theta=obj.theta;
            obj.prpty.max_angle=timeElapsed;
        }
    
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  

        // 画theta所在的弧
        ctx.beginPath();
        ctx.arc(0,0,1*ScaleUnit,Math.PI,Math.PI-obj.theta,true);
        ctx.lineWidth=1;
        ctx.strokeStyle="orange";
        ctx.stroke();

        // 画矩形ABCD
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(obj.cx*ScaleUnit,obj.cy*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.bx*ScaleUnit,obj.by*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.ax*ScaleUnit,obj.ay*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.dx*ScaleUnit,obj.dy*ScaleUnit);
        ctx.closePath();
        ctx.lineWidth=2;
        ctx.strokeStyle="RGB(118,65,54)";
        ctx.stroke();

        // 标记ABCD点
        markPoint(ctx,obj.ax,obj.ay,"A");
        markPoint(ctx,obj.bx,obj.by,"B");
        markPoint(ctx,obj.cx,obj.cy,"C");
        markPoint(ctx,obj.dx,obj.dy,"D");

        // 画矩形CGFE
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(obj.cx*ScaleUnit,obj.cy*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.gx*ScaleUnit,obj.gy*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.fx*ScaleUnit,obj.fy*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.ex*ScaleUnit,obj.ey*ScaleUnit);
        ctx.closePath();
        ctx.lineWidth=2;
        ctx.strokeStyle="RGB(79,135,108)";
        ctx.stroke();

        // 标记GFE点
        markPoint(ctx,obj.gx,obj.gy,"G");
        markPoint(ctx,obj.fx,obj.fy,"F");
        markPoint(ctx,obj.ex,obj.ey,"E");

        // 画直线AF
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(obj.ax*ScaleUnit,obj.ay*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.fx*ScaleUnit,obj.fy*ScaleUnit);
        ctx.closePath();
        ctx.lineWidth=1;
        ctx.strokeStyle="navy";
        ctx.stroke();

        // 画直线GE
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(obj.gx*ScaleUnit,obj.gy*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.ex*ScaleUnit,obj.ey*ScaleUnit);
        ctx.closePath();
        ctx.lineWidth=1;
        ctx.strokeStyle="navy";
        ctx.stroke(); 

        // 画直线OH
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(obj.ox*ScaleUnit,obj.oy*ScaleUnit);
        ctx.lineTo(obj.hx*ScaleUnit,obj.hy*ScaleUnit);
        ctx.closePath();
        ctx.lineWidth=1;
        ctx.strokeStyle="red";
        ctx.stroke();

        // 标记O点,H点
        markPoint(ctx,obj.ox,obj.oy,"O点");
        markPoint(ctx,obj.hx,obj.hy,"H点");

        // 写当前Oh长度，角度
        drawText(ctx,"oh:"+this.prpty.oh.toFixed(3)+"  theta:"+this.prpty.theta.toFixed(3)+"  angle:"+this.prpty.angle+"°",-400,125,"navy",18);

        // 写极值
        drawText(ctx,"max:"+this.prpty.max.toFixed(3)+" @"+this.prpty.max_angle.toFixed(3)+"  min:"+this.prpty.min.toFixed(3)+" @"+this.prpty.min_angle.toFixed(3),-400,105,"navy",18);
    };

    // 画背景
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"grey");
        
        // 标题
        drawText(ctx,""+TITLE+" 图示",-400,-160,"navy",18);

        // 作者，日期
        drawText(ctx,"逆火",-500,-200,"navy",16);
        drawText(ctx,(new Date()).toLocaleDateString(),-500,-220,"navy",16);
    };
    
    return obj;
}

// 函数：标记一个点
function markPoint(ctx,x,y,pointText){
    ctx.save();
    ctx.translate(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit);
    ctx.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);
    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle="black";
    ctx.font = "10 px consolas";
    ctx.fillText(pointText,0,0);
    ctx.restore();
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.beginPath(); 
    
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);
        }
    }     
    
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();

      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.stroke();
      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();

    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
        drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "aqua"        /* aqua湖绿色*/,
        "black"        /* black黑色*/,
        "blue"        /* blue蓝色*/,
        "fuchsia"    /* fuchsia 紫红*/,
        "green"        /* green 绿色*/,
        "grey"        /* grey 草木灰*/,
        "lime"        /* lime 亮绿色*/,
        "maroon"    /* maroon 棕色*/,
        "navy"        /* navy 海军蓝*/,
        "orange"    /* orange 橙色*/,
        "purple"    /* purple 紫色*/,
        "red"        /* red 大红*/,        
        "skyblue"    /* skyblue 天蓝*/,
        "teal"        /* teal 蓝绿色*/,
        "yellow"    /* yellow 亮黄*/,
        "#aa0000"    /* #aa0000 铁锈红*/,        
    ];

    if(index>arr.length){
        index=index % arr.length;
    }

    return arr[index];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}
//-->
</script>
复制代码

END

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