【Java/算法/组合】楼梯共有12级台阶，每步可上1级，也可上2级，要用8步走完这12级台阶，问共有多少种不同的走法?并请列举出这些走法
【数学解法】
此题貌似与组合无关，分析后可发现是直接相关的。
设走一级n次，走二级m次，那么有：
n+m=8
n+2m=12
解这个二元一次方程得n=4，m=4.
至此可言，只能走4次二级，4次一级登上这层楼梯。
求不同得走法，就是在8步中，选4次2级(其余全为1级)。
8选4即C84=8*7*6*5/4*3*2*1=2*35=70次
【程序解法】
思路：做一个数组{0,1,2,3,4,5,6,7}进行8选4，选出4个元素作为下标，把数组{"1","1","1","1","1","1","1","1"}中得对应项置为2，此即走法。
比如说，{0,1,2,3,4,5,6,7}进行8选4后得到[0，1，2，3]，那么{"1","1","1","1","1","1","1","1"}将变成{"2","2","2","2","1","1","1","1"},这就是这一步对应的走法。
Footstep类：
package test230426; import java.util.List; import test230425.Combination; /** * 楼梯共有12级台阶，每步可上1级，也可上2级，要用8步走完这12级台阶，问共有多少种不同的走法?并请列举出这些走法 */ public class Footstep { public static void main(String[] args) { final int[] arr= {0,1,2,3,4,5,6,7}; Combination c=new Combination(arr,4); List<List<Integer>> results=c.getResults(); int idx=0; for(List<Integer> res:results) { String[] steps= {"1","1","1","1","1","1","1","1"}; for(int i:res) { steps[i]="2"; } String str=String.join(",", steps); System.out.println(String.format("%02d", ++idx) +"."+str); } } }
Combination类：
package test230425; import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Stack; /** * 数学中排列组合中的组合器实现 * */ public class Combination { /** * 用于存放中间结果 */ private Stack<Integer> stack; /** * 用于存放结果 */ private List<List<Integer>> results; /** * 构造函数 * @param arr 进行组合的元素 * @param count 选多少个 */ public Combination(int[] arr,int count) { if(count>arr.length) { throw new ArrayIndexOutOfBoundsException(count+">"+arr.length); } stack = new Stack<>(); results=new ArrayList<>(); doSelect(arr,count,0,0); } /** * 进行选择 * @param arr 目标数组 * @param expect 期望选择数量 * @param actual 实际选择数量 * @param current 当前下标 */ private void doSelect(int[] arr, int expect, int actual, int current) { if(actual == expect) { List<Integer> list=new ArrayList<>(); for(int i:stack) { list.add(i); } results.add(list); return; } for(int i=current;i<arr.length;i++) { if(!stack.contains(arr[i])) { stack.add(arr[i]); doSelect(arr, expect, actual+1, i); stack.pop(); } } } /** * 取得组合结果 * @return */ public List<List<Integer>> getResults(){ return results; } /** * 测试 * @param args */ public static void main(String[] args) { final int[] arr= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}; final int count=2; Combination c=new Combination(arr,count); List<List<Integer>> results=c.getResults(); int idx=0; for(List<Integer> res:results) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) +"."+res); } } }
【输出】
01.2,2,2,2,1,1,1,1 02.2,2,2,1,2,1,1,1 03.2,2,2,1,1,2,1,1 04.2,2,2,1,1,1,2,1 05.2,2,2,1,1,1,1,2 06.2,2,1,2,2,1,1,1 07.2,2,1,2,1,2,1,1 08.2,2,1,2,1,1,2,1 09.2,2,1,2,1,1,1,2 10.2,2,1,1,2,2,1,1 11.2,2,1,1,2,1,2,1 12.2,2,1,1,2,1,1,2 13.2,2,1,1,1,2,2,1 14.2,2,1,1,1,2,1,2 15.2,2,1,1,1,1,2,2 16.2,1,2,2,2,1,1,1 17.2,1,2,2,1,2,1,1 18.2,1,2,2,1,1,2,1 19.2,1,2,2,1,1,1,2 20.2,1,2,1,2,2,1,1 21.2,1,2,1,2,1,2,1 22.2,1,2,1,2,1,1,2 23.2,1,2,1,1,2,2,1 24.2,1,2,1,1,2,1,2 25.2,1,2,1,1,1,2,2 26.2,1,1,2,2,2,1,1 27.2,1,1,2,2,1,2,1 28.2,1,1,2,2,1,1,2 29.2,1,1,2,1,2,2,1 30.2,1,1,2,1,2,1,2 31.2,1,1,2,1,1,2,2 32.2,1,1,1,2,2,2,1 33.2,1,1,1,2,2,1,2 34.2,1,1,1,2,1,2,2 35.2,1,1,1,1,2,2,2 36.1,2,2,2,2,1,1,1 37.1,2,2,2,1,2,1,1 38.1,2,2,2,1,1,2,1 39.1,2,2,2,1,1,1,2 40.1,2,2,1,2,2,1,1 41.1,2,2,1,2,1,2,1 42.1,2,2,1,2,1,1,2 43.1,2,2,1,1,2,2,1 44.1,2,2,1,1,2,1,2 45.1,2,2,1,1,1,2,2 46.1,2,1,2,2,2,1,1 47.1,2,1,2,2,1,2,1 48.1,2,1,2,2,1,1,2 49.1,2,1,2,1,2,2,1 50.1,2,1,2,1,2,1,2 51.1,2,1,2,1,1,2,2 52.1,2,1,1,2,2,2,1 53.1,2,1,1,2,2,1,2 54.1,2,1,1,2,1,2,2 55.1,2,1,1,1,2,2,2 56.1,1,2,2,2,2,1,1 57.1,1,2,2,2,1,2,1 58.1,1,2,2,2,1,1,2 59.1,1,2,2,1,2,2,1 60.1,1,2,2,1,2,1,2 61.1,1,2,2,1,1,2,2 62.1,1,2,1,2,2,2,1 63.1,1,2,1,2,2,1,2 64.1,1,2,1,2,1,2,2 65.1,1,2,1,1,2,2,2 66.1,1,1,2,2,2,2,1 67.1,1,1,2,2,2,1,2 68.1,1,1,2,2,1,2,2 69.1,1,1,2,1,2,2,2 70.1,1,1,1,2,2,2,2
END
