【高中数学/对数函数，指数函数】设方程10^x=|lg(-x)|的两根分别为x1,x1,则以下四选项正确的是？ （PS：牛顿中值法失效的案例）
【问题】
设方程10^x=|lg(-x)|的两根分别为x1,x1,则以下四选项正确的是？
A.x1*x2<0
B.x1*x2=0
C.x1*x2>1
D.0<x1*x2<1
【解答】
10^x=|lg(-x)|的两根，即函数y=10^x与y=|lg(-x)|的两个交点。
函数y=10^x的曲线无须赘述，y=|lg(-x)|才是中点。
考虑到对数的真数必须大于0，故y=|lg(-x)|的定义域只能取x负半轴即(-∞,0),它的曲线像是把y=lgx的选线先以y轴为对称轴向右翻折一次。
又考虑到绝对值符号，故轴以下的部分还需要以x轴为对称轴向上翻折一次。
最终两图线就是以下模样：
通过上图可以看到，两个根都在第二象限内，故排除AB。
CD的差别是x1*x2是大于1还是小于1的问题，这个问题可如下求解。
| 符号 | 表达式 | 说明 |
| |lg(-x1)|=10^x1,|lg(-x2)|=10^x2 | 两曲线交点的横纵坐标都相同 | |
| => | 10^x1<10^x2 | 指数函数的单调递增性质 |
| => | |lg(-x1)|<|lg(-x2)| | |
| => | lg(-x1)<-lg(-x2) | 去绝对值 |
| => | lg(-x1)<lg(1/-x2) | 系数变指数 |
| => | -x1<1/-x2 | 去lg符号 |
| => | x1*x2<1 | 两边同乘-x2 |
因此，最终答案选D。
【绘图所用Canvas代码】
<!DOCTYPE html> <html lang="utf-8"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/> <head> <title>UNASSIGNED</title> <style type="text/css"> .centerlize{ margin:0 auto; border:0px solid red; width:1200px;height:600px; } </style> </head> <body onload="draw();"> <div class="centerlize"> <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;"> 如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试. </canvas> </div> </body> </html> <script type="text/javascript"> <!-- /***************************************************************** * 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件， * 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。 ******************************************************************/ // 系统常量定义处 const TITLE="函数 y=10^x 及 y=lg(-x)绝对值 图像"; // 图像标题 const WIDTH=1200; // 画布宽度 const HEIGHT=600; // 画布高度 const SCALE_UNIT=150; // 缩放比例 // 系统变量定义处 var context=0; // 画布环境 var stage; // 舞台对象 var timeElapsed=0; // 动画运作的的时间 const TIME_END=100000; // 动画运作的期限 //------------------------------- // Canvas开始运作，由body_onload调用 //------------------------------- function draw(){ document.title=TITLE; // 画图前初始化 var canvas=document.getElementById('myCanvas'); canvas.width=WIDTH; canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换 // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向 // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向 context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2); context.rotate(Math.PI); context.scale(-1,1); // 初始化舞台 stage=new Stage(); // 开始动画 animate(); }; //------------------------------- // 画图 //------------------------------- function animate(){ timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1 stage.update(timeElapsed); stage.paintBg(context); stage.paint(context); if(timeElapsed<TIME_END){ window.requestAnimationFrame(animate); } } //------------------------------- // 舞台对象定义处 //------------------------------- function Stage(){ // 内置对象(非必要勿更改) var obj=new Object; // 对象下的曲线数组(非必要勿更改) obj.curves=[]; // 塞入曲线1(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=10^x", xEnd:1, x:-4, y:0, setY:function(x){ this.y=Math.pow(10,x);// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 塞入曲线2(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=|lg(-x)|", xEnd:0, x:-4, y:0, setY:function(x){ this.y=Math.abs(Math.log(-x)/Math.log(10));// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 随时间更新位置(非必要勿更改) obj.update=function(t){ for(var i=0;i<this.curves.length;i++){ var curve=this.curves[i]; if(curve.x<curve.xEnd){ curve.x+=0.01; curve.setY(curve.x); } } }; // 画前景 obj.paint=function(ctx){ // 手动标记点 paintPoint(ctx,-1.168,0.0679,"x1","navy"); paintPoint(ctx,-0.40,0.40,"x2","navy"); //paintPoint(ctx,6,-4,"d","navy"); // 文字左上角位置(可手动修改设定值) const X_START=-230; // 文字横起点 const Y_START=-75; // 文字纵起点 const OFFSET=50; // 文字间隔 // 遍历曲线数组(非必要勿更改) for(var i=0;i<this.curves.length;i++){ var curve=this.curves[i]; var color=getColor(i); // 曲线名称 drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18); // 曲线当前点坐标 drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18); // 绘制曲线 if(curve.pts0){ paintCurve(ctx,color,curve.pts0); // 绘制曲线分段1的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts0); //markMaxMin(ctx,mm,color); } if(curve.pts1){ paintCurve(ctx,color,curve.pts1); // 绘制曲线分段2的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts1); //markMaxMin(ctx,mm,color); } if(curve.pts2){ paintCurve(ctx,color,curve.pts2); // 绘制曲线分段3的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts2); //markMaxMin(ctx,mm,color); } if(curve.pts3){ paintCurve(ctx,color,curve.pts3); // 绘制曲线分段4的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts3); //markMaxMin(ctx,mm,color); } } }; // 画背景(非必要不更改) obj.paintBg=function(ctx){ // 清屏 ctx.clearRect(-600,-300,1200,600); ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)"; ctx.fillRect(-600,-300,1200,600); // 画X轴 drawAxisX(ctx,-600,600,50); // 画Y轴 drawAxisY(ctx,-300,300,50); // 画网格线 drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50); // 左上角标题 var metrics = ctx.measureText(TITLE); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18); // 右下角作者，日期 const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString(); metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt); textWidth = metrics.width; drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16); }; return obj; } // 描绘并标识一个点 function paintPoint(ctx,x,y,text,color){ var xReal=x*SCALE_UNIT; var yReal=y*SCALE_UNIT; ctx.strokeStyle=color; ctx.lineWidth=0.5; // 划线 ctx.save(); ctx.setLineDash([5,5]); ctx.beginPath(); ctx.moveTo(xReal,0); ctx.lineTo(xReal,yReal); ctx.lineTo(0,yReal); ctx.stroke(); ctx.restore(); // 画圈 ctx.beginPath(); ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); // 写文字 var metrics = ctx.measureText(text); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12); } // 连点成线画曲线 function paintCurve(ctx,color,cds){ ctx.save(); ctx.strokeStyle = color; ctx.lineWidth=1; ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){ let y=cds[i].y; if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){ ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT); } } ctx.stroke(); ctx.restore(); } // 找到坐标数组的最大最小值 function findMaxMin(cds){ if(cds.length<1){ return null; } var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0}; for(var i=0;i<cds.length;i++){ var y=cds[i].y; if(y>retval.max){ retval.max=y; retval.max_x=cds[i].x; } if(y<retval.min){ retval.min=y; retval.min_x=cds[i].x; } } return retval; } // 绘出最大最小值 function markMaxMin(ctx,mm,color){ if(mm==null){ return; } // 最大值 var x=mm.max_x; var y=mm.max; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3); drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12); // 最小值 var x=mm.min_x; var y=mm.min; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3); drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12); } // 定点画实心圆 function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI); ctx.fillStyle=color; ctx.fill(); ctx.restore(); } // 两点之间画线段 function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1,y1); ctx.lineTo(x2,y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); ctx.restore(); } // 画横轴 function drawAxisX(ctx,start,end,step){ const AXISY_COLOR="black"; ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(start, 0); ctx.lineTo(end, 0); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10); ctx.lineTo(end, 0); ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; y=5; for(x=start;x<end;x+=step){ if(x==0){ continue; } ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, 0); ctx.lineTo(x, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); var text=formatScale(x/SCALE_UNIT); drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12); } ctx.restore(); } // 画纵轴 function drawAxisY(ctx,start,end,step){ const AXISY_COLOR="black"; ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, start); ctx.lineTo(0, end); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.lineTo(0, end); ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; x=5; for(y=start;y<end;y+=step){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y); ctx.lineTo(0, y); var text=formatScale(y/SCALE_UNIT); var metrics = ctx.measureText(text); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } ctx.restore(); } //------------------------------- // 得到整型后的刻度 //------------------------------- function formatScale(scale){ var s=scale*10; if(s % 5==0){ return scale+""; }else{ return scale.toFixed(2); } } // 画网格线 function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle="lightgrey"; // 分十格 var x,y; for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y1); ctx.lineTo(x, y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1, y); ctx.lineTo(x2, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } // 十小格间的分割线 ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle="grey"; ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段 for(x=x1;x<x2;x+=step1){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y1); ctx.lineTo(x, y2); ctx.stroke(); } for(y=y1;y<y2;y+=step2){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1, y); ctx.lineTo(x2, y); ctx.stroke(); } ctx.restore(); } //------------------------------- // 角度得到弧度 //------------------------------- function getRad(degree){ return degree/180*Math.PI; } //------------------------------- // 得到颜色 //------------------------------- function getColor(index){ var arr=[ "maroon" /* maroon 棕色*/, "orange" /* orange 橙色*/, "blue" /* blue蓝色*/, "green" /* green 绿色*/, "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/, "grey" /* grey 草木灰*/, "lime" /* lime 亮绿色*/, "navy" /* navy 海军蓝*/, "purple" /* purple 紫色*/, "skyblue"/* skyblue 天蓝*/, "teal" /* teal 蓝绿色*/, "yellow" /* yellow 亮黄*/, "aqua" /* aqua湖绿色*/, "red" /* red 大红*/, "#88815d"/* 雪松*/, "#4f876c"/* 伊甸园绿*/, "#97572b"/* 皮革褐*/, "#b79777"/* 卡其*/, "#d7ccb6"/* 象牙白*/, "#414142"/* 木炭艺术*/, "#764136"/* 焦棕*/, "#46515a"/* 深板岩*/, "#3c281e"/* 巧克力*/, "#681414"/* 铁锈红*/, "black" /* black黑色*/, ]; return arr[index % arr.length]; } //------------------------------------- // 绘制文字,指定颜色 // ctx:绘图环境 // text:文字 // x,y:坐标 // color:颜色 // size:字体大小 //------------------------------------- function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ ctx.save(); ctx.translate(x,y) ctx.rotate(getRad(180)) ctx.scale(-1,1) ctx.textBaseline="bottom"; ctx.textAlign="center"; ctx.fillStyle=color; ctx.font = size+"px consolas"; ctx.fillText(text,0,0); ctx.restore(); } // JS开立方 function kaiLiFang(x){ if(x>0){ return Math.pow(x,1/3); }else{ return -Math.pow(-x,1/3); } } //--> /************************************** 以下节选自某剧中王志文的台词： 我现在已经不和别人争吵了， 因为我开始意识到， 每个人只能站在自己的认知角度上去思考问题。 所以，如果有人跟你说一加一等于三， 你只需笑着对他说：是的，你真厉害！ 有钱人把人做好，没钱就把事儿做好。 蛇不知道自己有毒，人不知道自己有错。 你的好对别人就像一颗糖，吃了就没了； 你的不好就像一道伤疤，它会永远存在。 彼此认知不同，就不必争辩； 彼此三观不合，就不必同行。 **************************************/ </script>
【求根的方法】
图上可见x1,x2被标识了出来，其坐标是(-1.168,0.0679),(-0.40,0.40),前者是用牛顿中值法算得，后者是在中值法失效后目测所得，看来牛顿法比较适合两曲线碰撞相交，在曲线渐近相交时力有未逮。
成功执行的求根代码：
package test240727; /** * 牛顿中值法求根 * @author 逆火 * */ public class Test { public static void main(String[] args) { double start=-1.33f; double end =-0.99f; double result=99; int idx=0; while(Math.abs(result)>0.000001){ double mid=(start+end)/2; result=Math.pow(10,mid)-Math.abs(Math.log(-mid)/Math.log(10));//解析式 idx++; System.out.println("#"+idx+".strat="+format(start)+" mid="+format(mid)+" end="+format(end)+" result="+format(result)); if(result>0){ end=mid; }else{ start=mid; } } System.out.println("使用牛顿中值法求得根="+end); } /** * 返回保留五位小数的字符串 * @param d * @return */ public static String format(double d){ java.text.DecimalFormat df =new java.text.DecimalFormat("#0.00000"); return df.format(d); } }
成功执行的结果：
#1.strat=-1.33000 mid=-1.16000 end=-0.99000 result=0.00473 #2.strat=-1.33000 mid=-1.24500 end=-1.16000 result=-0.03828 #3.strat=-1.24500 mid=-1.20250 end=-1.16000 result=-0.01735 #4.strat=-1.20250 mid=-1.18125 end=-1.16000 result=-0.00646 #5.strat=-1.18125 mid=-1.17063 end=-1.16000 result=-0.00091 #6.strat=-1.17063 mid=-1.16531 end=-1.16000 result=0.00190 #7.strat=-1.17063 mid=-1.16797 end=-1.16531 result=0.00049 #8.strat=-1.17063 mid=-1.16930 end=-1.16797 result=-0.00021 #9.strat=-1.16930 mid=-1.16863 end=-1.16797 result=0.00014 #10.strat=-1.16930 mid=-1.16896 end=-1.16863 result=-0.00003 #11.strat=-1.16896 mid=-1.16880 end=-1.16863 result=0.00006 #12.strat=-1.16896 mid=-1.16888 end=-1.16880 result=0.00001 #13.strat=-1.16896 mid=-1.16892 end=-1.16888 result=-0.00001 #14.strat=-1.16892 mid=-1.16890 end=-1.16888 result=0.00000 #15.strat=-1.16892 mid=-1.16891 end=-1.16890 result=-0.00000 #16.strat=-1.16891 mid=-1.16891 end=-1.16890 result=-0.00000 #17.strat=-1.16891 mid=-1.16891 end=-1.16890 result=-0.00000 使用牛顿中值法求得根=-1.1689026149906567
不成功求根的代码：
package test240727; /** * 牛顿中值法求根 * @author 逆火 * */ public class Test { public static void main(String[] args) { double start=-0.67f; double end =-0.33f; double result=99; int idx=0; while(Math.abs(result)>0.000001){ double mid=(start+end)/2; result=Math.pow(10,mid)-Math.abs(Math.log(-mid)/Math.log(10));//解析式 idx++; System.out.println("#"+idx+".strat="+format(start)+" mid="+format(mid)+" end="+format(end)+" result="+format(result)); if(result>0){ end=mid; }else{ start=mid; } } System.out.println("使用牛顿中值法求得根="+end); } /** * 返回保留五位小数的字符串 * @param d * @return */ public static String format(double d){ java.text.DecimalFormat df =new java.text.DecimalFormat("#0.00000"); return df.format(d); } }
两处代码只有起止点不同，但一个能算出来一个算不出来，只能说明中值法求根还有不完善的地方。
END
