【高中数学之基本不等式】已知:x,y皆为正实数且x+3y=5xy,求3x+4y的最小值?(2012浙江卷)
解:此题若使用“化二为一”法,会发现分母中出现了5x-3或是5y-1这样的式子,它可能导致负数的出现,已经违反了基本不等式中a,b皆大于零的应用条件。
此时应该迷途知返,及时易辙改弦。
此题适用“乘一法”,这也是与“化二为一法”并重的解基本不等式技巧。
由x+3y=5xy
两边同除5xy可以得到x/5xy+3y/5xy=1
化简得1/5y+3/5x=1
这就成功的把1变成了1/5y+3/5x的形式。
又3x+4y=(3x+4y)*1=(3x+4y)*(1/5y+3/5x)=1/5*(3x/y+9+4+12y/x)>=1/5*(13+2*根号下(3x/y*12y/x))=1/5*(13+2*6)=5
所以:3x+4y的最小值为5.
归纳:一旦发现基本不等式中a,b可能小于零,则应知道该及时更换方法。
绘图:如果将y=x/(5x-3)带入3x+4y,得到f(x)=x*(3+4/(5x-3)),再用canvas绘制图线可以发现又出现了经典的对勾函数,其上半部分的最小值正好是5。
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canvas.width=WIDTH; canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换 // 处置完成前,原点在左上角,向右为X正向,向下为Y的正向 // 处置完毕后,原点移动到画布中央,向右为X正向,向上为Y的正向 context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2); context.rotate(Math.PI); context.scale(-1,1); // 初始化舞台 stage=new Stage(); // 开始动画 animate(); }; //------------------------------- // 画图 //------------------------------- function animate(){ timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1 stage.update(timeElapsed); stage.paintBg(context); stage.paint(context); if(timeElapsed<2400){ window.requestAnimationFrame(animate); } } //------------------------------- // 舞台对象定义处 //------------------------------- function Stage(){ var obj=new Object; obj.prpty={"x":-12,"y":0,"pts":[],"pts2":[],"max":-10,"min":10}; // 随时间更新位置 obj.update=function(t){ // xy值是如何变化的 obj.prpty.x+=0.01; let x=obj.prpty.x; obj.prpty.y=x*(3+4/(5*x-3)); // 取极值 if(obj.prpty.y<obj.prpty.min){ obj.prpty.min=obj.prpty.y; } if(obj.prpty.y>obj.prpty.max){ obj.prpty.max=obj.prpty.y; } // 放入数组 let arr={"x":obj.prpty.x,"y":obj.prpty.y}; if(arr.x<0.6){ this.prpty.pts.push(arr); }else{ this.prpty.pts2.push(arr); } }; // 画前景 obj.paint=function(ctx){ // 写当前点坐标 drawText(ctx,"当前 X:"+this.prpty.x.toFixed(3)+" Y:"+this.prpty.y.toFixed(3),-400,125,"navy",18); // 写极值 drawText(ctx,"max:"+this.prpty.max.toFixed(3)+" min:"+this.prpty.min.toFixed(3),-400,105,"navy",18); // 绘制曲线 paintCurve(ctx,"maroon",this.prpty.pts); paintCurve(ctx,"orange",this.prpty.pts2); }; // 画背景 obj.paintBg=function(ctx){ // 清屏 ctx.clearRect(-600,-300,1200,600); ctx.fillStyle="white"; ctx.fillRect(-600,-300,1200,600); // 画X轴 drawAxisX(ctx,-600,600,50); // 画Y轴 drawAxisY(ctx,-300,300,50); // 画网格线 drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"grey"); // 标题 drawText(ctx,"函数 "+TITLE+" 图示",-400,-160,"navy",18); // 作者,日期 drawText(ctx,"逆火",-500,-200,"navy",16); drawText(ctx,(new Date()).toLocaleDateString(),-500,-220,"navy",16); }; return obj; } // 连点成线画曲线 function paintCurve(ctx,color,cds){ ctx.strokeStyle = color; ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){ let y=cds[i].y; 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END