【高中数学/指数函数、对数函数】比大小：a=log4_3,b=log5_4，c=2^-0.01
【问题】
比大小：a=log4_3,b=log5_4，c=2^-0.01
【解答】
ab比较相对容易，这两个数是函数式y=logx_x-1的具象，此函数是一个在（1，+∞）区间内的单调递增函数，x越大，底数和真数越接近，结果也就趋向于1。因此，从增函数而言，log5_4>log4_3.即b>a;
而c是函数式y=2^-0.001的具象，2^x>x+1这个结论我们是知道的，故c>-0.01+1=0.99;
c与b是谁大呢？可以这样想，logx_x-1接近于x-1/x,当x=100时，结果才等于0.99，因此log100_99≈0.99>log5_4的，故c>b.
综上即是：c>b>a
要得出b的值还有两种办法：
一是乘方法：
因为4^10=1048576<5^9=1953125
两边同开10次方得，4<5^9/10
两边同取log5得 log5_4<9/10=0.9<0.99,故b<c
这种方法难在演算量大，得从日常比较熟悉的4^3=64,5^3=125往上推，对数学基本功是个考验。
二是记忆法：
因为log5_4=ln4/ln5≈1.386/1.609=0.8641<0.99,故b<c
这种方法难在平时没人去硬记1到10的自然对数值。但从高考比大小题的驱使来看，花点时间记住1到10的自然对数值还是有意义的。
最后说点题外话：该题是个选择题而不是解答题，出题人也不***钻，如果把题改成a=log4_3,b=log5_4，c=2^-0.13三个数比大小，那就难度陡增了。
【三点所在曲线和位置示意图】
【制成上图的Canvas代码】
<!DOCTYPE html> <html lang="utf-8"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/> <head> <title>UNASSIGNED</title> <style type="text/css"> .centerlize{ margin:0 auto; border:0px solid red; width:1200px;height:600px; } </style> </head> <body onload="draw();"> <div class="centerlize"> <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;"> 如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试. </canvas> </div> </body> </html> <script type="text/javascript"> <!-- /***************************************************************** * 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件， * 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。 ******************************************************************/ // 系统常量定义处 const TITLE="比大小：a=log4_3,b=log5_4,c=2^-0.01"; // 图像标题 const WIDTH=1200; // 画布宽度 const HEIGHT=600; // 画布高度 const SCALE_UNIT=100; // 缩放比例 // 系统变量定义处 var context=0; // 画布环境 var stage; // 舞台对象 var timeElapsed=0; // 动画运作的的时间 const TIME_END=100000; // 动画运作的期限 //------------------------------- // Canvas开始运作，由body_onload调用 //------------------------------- function draw(){ document.title=TITLE; // 画图前初始化 var canvas=document.getElementById('myCanvas'); canvas.width=WIDTH; canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换 // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向 // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向 context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2); context.rotate(Math.PI); context.scale(-1,1); // 初始化舞台 stage=new Stage(); // 开始动画 animate(); }; //------------------------------- // 画图 //------------------------------- function animate(){ timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1 stage.update(timeElapsed); stage.paintBg(context); stage.paint(context); if(timeElapsed<TIME_END){ window.requestAnimationFrame(animate); } } //------------------------------- // 舞台对象定义处 //------------------------------- function Stage(){ // 内置对象(非必要勿更改) var obj=new Object; // 对象下的曲线数组(非必要勿更改) obj.curves=[]; // 塞入曲线1(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=log_x_x-1", xEnd:11, x:1, y:0, color:"maroon", setY:function(x){ this.y=Math.log(x-1)/Math.log(x);// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 塞入曲线2(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=x+1", xEnd:6, x:-6, y:0, color:"blue", setY:function(x){ this.y=x+1;// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 塞入曲线3(按需修改设定项) obj.curves.push({ name:"曲线:y=2^x", xEnd:6, x:-6, y:0, color:"orange", setY:function(x){ this.y=Math.pow(2,x);// 解析式 let coord={"x":x,"y":this.y}; this.pts0.push(coord); }, "pts0":[], }); // 随时间更新位置(非必要勿更改) obj.update=function(t){ for(var i=0;i<this.curves.length;i++){ var curve=this.curves[i]; if(curve.x<curve.xEnd){ curve.x+=0.01; curve.setY(curve.x); } } }; // 画前景 obj.paint=function(ctx){ // 手动标记点 paintPoint(ctx,-0.01,0.99,"c","black"); paintPoint(ctx,4,0.79,"a","black"); paintPoint(ctx,5,0.86,"b","black"); // 文字左上角位置(可手动修改设定值) const X_START=-430; // 文字横起点 const Y_START=225; // 文字纵起点 const OFFSET=50; // 文字间隔 // 遍历曲线数组(非必要勿更改) for(var i=0;i<this.curves.length;i++){ var curve=this.curves[i]; // 曲线名称 drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,curve.color,18); // 曲线当前点坐标 drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,curve.color,18); // 绘制曲线 if(curve.pts0){ paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts0); // 绘制曲线分段1的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts0); //markMaxMin(ctx,mm,curve.color); } if(curve.pts1){ paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts1); // 绘制曲线分段2的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts1); //markMaxMin(ctx,mm,curve.color); } if(curve.pts2){ paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts2); // 绘制曲线分段3的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts2); //markMaxMin(ctx,mm,curve.color); } if(curve.pts3){ paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts3); // 绘制曲线分段4的高低点(可选) //var mm=findMaxMin(curve.pts3); //markMaxMin(ctx,mm,curve.color); } } }; // 画背景(非必要不更改) obj.paintBg=function(ctx){ // 清屏 ctx.clearRect(-600,-300,1200,600); ctx.fillStyle="white"; ctx.fillRect(-600,-300,1200,600); // 画X轴 drawAxisX(ctx,-600,600,50); // 画Y轴 drawAxisY(ctx,-300,300,50); // 画网格线 drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50); // 左上角标题 var metrics = ctx.measureText(TITLE); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18); // 右下角作者，日期 const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString(); metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt); textWidth = metrics.width; drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16); }; return obj; } // 描绘并标识一个点 function paintPoint(ctx,x,y,text,color){ ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,4,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.strokeStyle=color; ctx.stroke(); var metrics = ctx.measureText(text); var textWidth = metrics.width; drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT+textWidth,y*SCALE_UNIT-5,color,12); } // 连点成线画曲线 function paintCurve(ctx,color,cds){ ctx.strokeStyle = color; ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){ let y=cds[i].y; if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){ ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT); } } ctx.stroke(); } // 找到坐标数组的最大最小值 function findMaxMin(cds){ if(cds.length<1){ return null; } var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0}; for(var i=0;i<cds.length;i++){ var y=cds[i].y; if(y>retval.max){ retval.max=y; retval.max_x=cds[i].x; } if(y<retval.min){ retval.min=y; retval.min_x=cds[i].x; } } return retval; } // 绘出最大最小值 function markMaxMin(ctx,mm,color){ if(mm==null){ return; } // 最大值 var x=mm.max_x; var y=mm.max; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3); drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12); // 最小值 var x=mm.min_x; var y=mm.min; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false); ctx.closePath(); ctx.stroke(); var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3); drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12); } // 定点画实心圆 function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI); ctx.fillStyle=color; ctx.fill(); ctx.restore(); } // 两点之间画线段 function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1,y1); ctx.lineTo(x2,y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); ctx.restore(); 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END
