【高中数学/最值/基本不等式】已知x>0,y>0,且x+y=7,则(1+x)(2+y)的最大值为？

【题目】

已知x>0,y>0,且x+y=7,则(1+x)(2+y)的最大值为？（湖南雅礼中学高三阶段练习）

【出处】

《高考数学极致解题大招》P99 典例1-2 中原教研工作室编著

【解答一：二次函数法】

(1+x)(2+y)=9+x(1+y)=9+x(8-x)=-x^2+8x+9=-(x-4)^2+25

故当x=4时，上式最大值取25，此时y=3

【解答二：基本不等式法】

由x+y=7可得

x+1+y+2=10

10=(x+1)+(y+2)>=2*根号下((x+1)(y+2))

得到5>=根号下((x+1)(y+2))

两边平方得 25>=(x+1)(y+2),故(1+x)(2+y)的最大值为25，此时x+1=y+2=5即x=4,y=3

【结论】

两种方法可以互为印证，故结论为(1+x)(2+y)的最大值为25

END