线代学习笔记

线代学习笔记

1.向量部分

张成空间：就是向量构成的空间

线性相关：一个向量，他的存在与否不会影响张成空间，则称为线性相关。

线性无关：就是缺一不可。

基：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。

矩阵乘法：

以前学矩阵快速幂什么的时候以为自己懂了，实际上没弄清楚本质。

这里写矩阵似乎有点麻烦。

先说算法：

对于 \(A*B=C\)

\(C_{i,j} = A rowi * B colomn j=\sum{a_{ik}*b_{kj}}\)

很明显，答案矩阵 \(C\) 的行数由 \(A\) 决定，列数由 \(B\) 决定

矩阵式可以切割的。

所以，也可以不用 \(\sum\),用一行乘一列。

同样，你还可以分块拆，把大矩阵拆成一块一块的，同样对于每一小块，你可以矩阵乘法。（递归预定）

单位矩阵: 从左上到右下的对角线为1，其余为0。这样乘起来不会改变值。

逆：

对于矩阵 \(A\), \(A * A^{-1}=I\),\(I\) 是单位矩阵，则 \(A^{-1}\) 为 \(A\) 的逆。

显然，有2种逆，左逆和右逆。

左逆就是 \(A^{-1}\) 在左边，右逆就是右边。

对于方阵，左右逆相等（似乎是剧透的，以后再补）

如果不存在逆，就是 奇异矩阵，反之，就是 非奇异矩阵

举个奇异矩阵例子：

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} \]

有趣的证明：如果 对于 非零的 \(x\), 仍然有 \(Ax=0\),则 \(A * A^{-1}*x=0\),则 \(x=0\),而上述矩阵显然有

\[\begin{vmatrix} -3\\ 1 \end{vmatrix} \]

所以为奇异矩阵。（有意思捏）

当然，他行列式为 0 也可以判断。

Gauss-Jordan

用高斯消元的方法,将左侧变为单位矩阵，右侧增广就是 逆矩阵。

（真的nb）

为什么呢

因为我们使用消元矩阵 \(E\),\(EA=I\), 则 \(E=A^{-1}\)

LU 分解

A 的 LU 分解 就是把 A 分解为 下三角矩阵 L，和上三角矩阵U

\[A=LU \]

转置

就是对过去

\[R^T*R =M \]

M 一定是对称矩阵（就是和转置相等的）

很好证明，就是求下 \(M^T\) 而已

伴随矩阵

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