堆排序

堆

　　（二叉）堆数据结构是一种数组对象，可以看做成一个完全二叉树，除最后一层外树的每一次都必须填满。下面给出数组与树之间的关系图：

 

　　为了满足堆的有关性质，数组下标应从1开始记起。可以看出在这个所谓堆的二叉树中其子节点与父节点满足的关系为 parent(i) = i/2,即下标为 i 的节点的父节点为下标为 i/2 的节点;left(i) = i*2,即下标为 i 的节点的左子节点为下标为 i*2 的节点; right(i) = i*2+1，即下标为i的节点的右子节点为下标为 i*2+1 的节点。

大根堆

　　所谓的大根堆即父节点的值总是比子节点的值大，即可以推出 A[i] >= A[i*2] ,A[i] >= A[i*2+1] 恒成立,可以看出，其实在上面所述的堆中所给的图就是一个大根堆。

对于一个大根堆，如何来维护某节点不小于其子节点？如图：

　　若某节点并不与所想一样，即其比子节点小，那么我们必须对这个堆进行维护，正如图中所示，其过程为从该节点开始（对于此图而言，该节点为根节点），与其子节点进行比较，若不满足大根堆的条件，则将其与最大的数字所在节点进行交换，然后依次向下循环该过程，直到其不小于其子节点位置。

代码如下：

void MaxHeapify(int* A,int heapSize,int index)
{
    int l,r;
    int largest;//记录最大节点下标
    int tmp;

    largest = index;
    l = left(index);
    r = right(index);

    if((l <= heapSize) && (A[l] > A[index]))
    {
        largest = l;
    }

    if((r <= heapSize) && (A[r] > A[largest]))
    {
        largest = r;
    }

    if( largest != index)
    {
        tmp = A[largest];
        A[largest] = A[index];
        A[index] = tmp;
        MaxHeapify(A,heapSize,largest);
    }
}

建堆

　　对于建立一个大根堆而言，对于我们得到的一个堆往往可能并不满足大根堆的条件，那么我们需要对其进行操作。

　　除了根节点之外的任意节点的父节点为可表示为 parent(i) = i/2，那么可以得出从堆中的最后一个节点的父节点开始维护这个大根堆，直到维护到这个堆的根节点为止，大根堆便可建成。

代码如下：

void BuildMaxHeap(int* A,int heapSize)
{
    for(int i = heapSize/2 ; i >= 1; i--)
    {
        MaxHeapify(A,heapSize,i);
    }
}

堆排序

　　大根堆的根节点往往是最大的，那么也就意味着说将根节点与最后一个节点交换，然后将最后一个节点排除在外，再次将堆调整成大根堆，循环此过程，直到这个堆中只包含根节点位置。大致过程如图所示：

 

代码如下：

void HeapSort(int* A,int heapSize)
{
    int tmp;
    for(int i = heapSize; i >= 2; i--)
    {
        tmp = A[i];
        A[i] = A[1];
        A[1] = tmp;
        heapSize--;//堆长度减1

        MaxHeapify(A,heapSize,1);
    }
}