扩展欧几里得算法

定义

　　设a和b不全为0，则存在整数x和y，使得a*x + b*y = gcd( a, b) = d,其中d为最大公约数。

实现原理

　　对于gcd( a, b) = d，用辗转相除法可以得到gcd( d, 0)，此时把a = d,b = 0代入a*x + b*y  = d中可以得到x = 1,y为任意值。现在将该过程进行逆推，以满足任何情况下的a*x  + b*y = d：

　　方程a*x + b*y = d经过对a,b的一次辗转相除之后原方程变为b*x + (a%b)*y = d，将此式展开有b*x + (a -[ a/b]*b)*y = d （其中[a/b]代表a/b向下取整），合并同类项之后可得 a*y + b*(x – [a/b]*y) = d，那么若b*x + (a%b)*y = d的解为 x = X,y = Y，那么对于a*x + b*y = d的解则为x = Y,y = X – [a/b]*Y。

 现给出一个表对以上结论予以验证：

实现代码如下：

long long ExtendedEuclid(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y)
{
    long long tmp;
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        d = a;
    }else
    {
        ExtendedEuclid(b,a%b,d,x,y);
        tmp = x;
        x = y;
        y = tmp - (a / b) * y;
    }
}

 应用

1.求解不定方程

2.求解模的逆元

3.求解同余方程