高楼扔玻璃球问题

题目描述：

腾讯大厦有100层，你手里有两颗玻璃球。当你拿着玻璃球在某一层往下扔的时候，一定会有两个结果，玻璃球碎了或者没碎。

大厦有个临界楼层。低于它的楼层，往下扔玻璃球，玻璃球不会碎，等于或高于它的楼层，扔下玻璃球，玻璃球一定会碎。玻璃球碎了就不能再扔。

现在让你设计一种方式，使得在该方式下，最坏的情况扔的次数比其他任何方式最坏的次数都少。也就是设计一种最有效的方式。

 

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两种思路解法：

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分区思想：

♦玻璃球属于消耗品，一旦第一颗球摔碎了，那么就只会剩下最后一颗球来去测量临界值，假设我们从第一层开始扔，那么最坏情况是从第一层试验到九十九层（最后一层就不用在测了），那么也需要试验99次

次，因此我们不应该从第一层开始试验

♦假设我们从任意一层楼x层将玻璃球扔下去，球分碎和不碎两种情况，如果碎了，那么就从该层楼继续往上扔，最坏需要（100-x-1（最后一层楼不用测临界值就是它了）+1（第一颗玻璃球碎的那一次））次，

如果没碎的话，那么继续把第一颗球从比x楼层高的y层扔，又分碎和没碎两种情况，知道第一颗球碎了，再讲第二颗球从上一次扔第一颗球没碎的楼层开始，逐层往上扔，从而找到临界值

因此x，y的划分仍然需要我们讲究区域的划分

♦现在我们自己进行区间划分，假设我们将区建设为10，那么1到100层就需要划分10个区间，从最底层的区间开始逐个往上试验（每次都试该区间的最高层）一旦球在

哪一个区间碎了，那么就可以锁定临界值在此区间，因此最坏情况为9+9（前九个区间+最后一个区间的前九层），

但是这样做的话，仍然不是很合理？因为按照概率来算：越往高层，球碎的概率就越大，也就是说前面区间划分的不是很均匀，越往高层时，高层区间大小应该越来越小，而底层区间由于球碎的可能性

较小，所以应该尽可能让区间大小变大，这样最终的结果：区间个数+最后一层区间的大小的值就会尽可能的变小

我们采取逐步递减的方式，让最后一个区间只有一层，那么倒数第二个区间就只有两层，就转变成了1+2+...+x=100,解得:x约等于14，1+...+14=105,因此最大实验次数不应该超过14

♦以此类推，若楼层为n层，那么问题就转变为从1+...+x=n,解得的x即为最坏的次数

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动态规划思想：

class Main{
    public static void main(String[] args) {
        int building = 100;
        //初始化，考虑数组边界0
        int[] dp = new int[building+1];
        //根据上面的思路，假设每一层都有碎的可能性，遍历求解，假设第i层球碎
        for (int i = 2;i <=building;i++){
            //最坏次数里面最优解法，假设为building，当然building-1更贴切，但并不影响程序结果
            int Min = building;//每一次i层碎的情况引发后续的 最小次数不同，需要重置Min的次数
            //第二层遍历，假设在第j层球碎
            for (int j = 1;j < i;j++){
                //那么用到的最大次数，要么从i层开始从上往下数到j层(i-j)+1(原来的第一次在i层碎的那一次)，
                // 要么从第1层开始到j层，即用了j-1+1=j次
                int Max = dp[i-j]+1;
                //因为要考虑最坏情况，所以要取最大值
                if (Max < j){
                    Max = j;
                }
                //Min当然要取最小值了
                if (Max < Min){
                    Min = Max;
                }
            }
            //第一次在i层碎的之后，后续个种情况的最小次数
            dp[i] = Min;
        }
        //遍历各种在i层碎的可能情况
        System.out.println(dp[building]);
    }
}