lucas定理

引入

lucas定理用于求解大组合数取模问题，其中模数必须为素数。并且p的范围不能太大，一般为\(10^5\)左右。

定义

lucas定理内容如下，对于质数p，有

\[C^m_n \equiv C^{\lfloor m/p \rfloor}_{\lfloor n/p \rfloor} * C^{m\%p}_{n\%p}\ mod\ p \]

上式中n%p与m%p一定是小于p的数，可以直接求解。\(C^{\lfloor m/p \rfloor}_{\lfloor n/p \rfloor}\)可以继续使用lucas递归求解，当m == 0的时候，返回1。
代码实现按

int lucas(ll a, ll b, ll p)
{
    if (b == 0)
        return 1;
    return (ll)lucas(a / p, b / p, p) * C(a % p, b % p, p) % p;
}

证明

考虑\(C^n_p\ mod\ p\)的值，\(C^n_p = \frac{p!}{n!(p-n)!}\)，分子的质因子分解中p的次数恰好为1(p是质数)，因此只有当n == 0 或 m == 0时，n!(p-n)!的质因子分解中含有p，因此\(C^n_p\ mod\ p = [n==0\vee m==0]\frac{p!}{n!(p-n)!}\)

[x]的含义为，当x为真时，[x]=1，反之[x]=0。

那么我们可以得到：

\[\begin{split} (a+b)^p &= \sum^p_{n=0}a^nb^{p-n}\\ &\equiv\sum^p_{n=0}[n==0\vee n==p]a^nb^{p-n}\\ &\equiv a^p+b^p \ \ (mod\ p) \end{split} \]

现在考虑二项式\((1+x)^n\ mod\ p\)，\(C^m_n\)就是在求\(x^m\)的系数，利用上述引理，我们可以得到：

\[\begin{split} (1+x)^n &= (1+x)^{p\lfloor n/p \rfloor}(1+x)^{n\ mod\ p}\\ &\equiv (1+x^p)^{\lfloor n/p \rfloor}(1+x)^{n\ mod\ p} \end{split} \]

在模p的意义下我们成功的把\((1+x)^n\)分成了两部分，我们要得到\(x^m\)的系数，可以在第一部分算出\(x^{p*\lfloor m/p \rfloor}\)的系数，第二部分算出\(m\%p\)的系数，两者相乘即可得到\(x^m\)的系数。即\(C^m_n \equiv C^{\lfloor m/p \rfloor}_{\lfloor n/p \rfloor} * C^{m\%p}_{n\%p}\ \ (mod\ p)\)
参考卢卡斯定理