乘法逆元

乘法逆元在取模运算中发挥着极其重要的作用。
我们可以很轻松的证明以下式子：

\[(a+b)\%p = (a\%p+b\%p)\%p\\ (a-b)\%p = (a\%p-b\%p)\%p\\ a*b\%p = a\%p*b\%p \]

但是对于除法：

\[\frac{a}{b}\%p \neq \frac{a\%p}{b\%p}\%p \]

举个反例：

\[\frac{5}{3}\%3 \neq \frac{5\%3}{3\%3}\%3 \]

这个时候乘法逆元就发挥作用了，假设我们现在面对一个除法：

\[\frac{a}{b}\equiv x\ (mod\ p)① \]

有没有办法不计算除法也能得到x呢？如果能存在一个数，我们记为\(b^{-1}\)，使得：

\[b*b^{-1}\equiv 1\ (mod\ p)② \]

我们把①②式相乘，就得到：

\[a*b^{-1}\equiv x\ (mod\ p) \]

这样我们就可以把所有的除法转化为乘法，然后就可以肆无忌惮的取模了。
那么现在如何求\(b^{-1}\)呢？我们把②式改成恒等式：

\[b*b^{-1} + k*p = 1 \]

这个式子是不是跟扩展欧几里得特别像？

\[a*x+b*y=gcd(a,b) \]

所以我们完全可以用扩展欧几里得求解，又因为gcd(b,p)=1，这就是说只有b，p互质b才有逆元。
我们还可以用费马小定理求解，\(b^{-1} = b^{p-2}\)，如果用这种方法除了要求b,p互质，还要求p是质数。