刷题总结——回溯算法

总论

• 增量构造答案
• 关注边界条件的逻辑
  • 当前操作？（选/不选，枚举选哪一个）
  • 子问题？
  • 下一个子问题？
• 用什么数据结构保存搜索路径？
• 时间复杂度计算：搜索树节点数*生成答案需要的时间

题目分类

可以分成子集型、排列型和组合型三种：

回溯问题	时间复杂度O()	解法
子集 LC78	n x 2^n	记录下标i+1
子集 II(有重复) LC90	n x 2^n	同上+hash
排列 面试题08.07	n x n!	Vis数组管理或者swap下标
排列II(有重复) 面试题08.08	n x n!	同上+hash
组合型 括号生成LC22	C(2n,n)	剪枝+叶子节点push

• 使用hash可以理解为一种剪枝方式，主要是去掉重复元素
• 组合型需要对普通回溯结果根据预设条件进行剪枝

子集型

从执行和答案两个角度考虑问题：

• 选与不选是从叶子节点的角度考虑，在叶子节点再push答案
• 枚举选哪个是从回溯过程的角度考虑，需要考虑下标管理，从更大的下标中构造子集

注意使用位运算的迭代思路：不回溯，直接使用2^n位运算计算出上限，然后for循环变量作为mask依次处理

组合型

• 从n个数字中选择k个数的组合，可以认为是寻找路径长度固定为k的子集
• 有额外剪枝的可能性，因为选择有顺序(组合保证了顺序的存在，顺序起到了去重的效果)
  • 组合: 每次选的范围缩小，都在0, i-1内，人为规定的逆序
  • 括号生成：状态改变时候的性质
• 时间复杂度=路径长度X叶子个数，即k X C(n, k)

排列型

可以重复，但顺序不同，因此需要有一个结构存储接下来还能保存哪些数：

• path：记录搜索路径
• 集合s：hash记录未选的数字/布尔数组

全排列O(n*n!): 节点路径长度x叶子节点个数

注意全排列可以使用交换法实现，比较巧妙的处理

参考

1. https://www.bilibili.com/video/BV1xG4y1F7nC/?vd_source=c80c62eac86a4ba033ab112349bbdd9f
2. https://www.bilibili.com/video/BV1mG4y1A7Gu/?vd_source=c80c62eac86a4ba033ab112349bbdd9f&spm_id_from=333.788.videopod.sections
3. https://leetcode.cn/problems/permutation-i-lcci/solutions/406850/quan-pai-lie-jiao-huan-fa-qing-xi-tu-shi-by-chen-k/?envType=problem-list-v2&envId=xb9lfcwi