单调队列优化dp

合集 - 学习笔记(12)

1.并查集2023-11-242.多项式相关2023-11-243.CDQ分治2023-12-174.数论2023-12-155.数据结构2024-01-276.树分治2024-09-237.斜率优化（李超树）2024-06-268.贪心2024-08-06

9.单调队列优化dp2024-10-31

10.扫描线2024-10-2911.网络流&费用流&二分图2024-10-2912.深搜DFS2023-03-25

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如果一个选手比你小还比你强，你就可以退役了。

有人高一了，学会了单调队列优化dp，这下是真被单调队列了😅

能用单调队列优化dp的问题一般都是滑动窗口的形式：写出朴素 dp 转移式后发现本质上是在一段长度固定且连续的单调区间中找最值（单调区间指区间移动方向是单调增减的），这个时候就能考虑单调队列优化，将复杂度降一个 $O(n)$。线段树能做的操作多一些，优先队列只能处理 $dp[j]$ 转移过来的值与 $i$ 无关的情况，但处理的区间可以不连续，线段树也是。

做题思路的话就是一定要先写出朴素dp转移式，然后观察能不能转化成类似滑动窗口的形式。dp优化题都是这样的，但是如果你发现转移式根本拆不开，根本想不到怎么优化，可以考虑重新从优化的角度设一个新的能被优化的状态。

给一个单调队列优化的模板，理解上采用了经典的选手退役模型：

h=1,t=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
    while(h<=t&&i-q[h]>k) ++h; //老年选手退役
    if(h<=t) dp[i]=...; //最强选手进省队
    while(h<=t&&dp[q[t]]....) --t; //被新生单调队列的学长退役
    q[++t]=i; //新选手加入OI队列
}

P3572 [POI2014] PTA-Little Bird

这个题比较毒，只能单调队列优化dp不能线段树维护。朴素转移很简单：$dp[i]=\max\limits_{j=i-k}^{i-1}dp[j]+[a_i\ge a_j]$。复杂度要求 $O(qn)$，考虑单调队列优化。板子题不过多赘述。

P2569 [SCOI2010] 股票交易

不难的题，还是先写出朴素转移，状态是好设的：令 $dp[i][j]$ 表示第 $i$ 天有 $j$ 支股票的最大收益，刷表法考虑第 $i$ 天有四种转移的情况：

$1.$ 啥都不干，直接从前一天转移来 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$

$2.$ 第一次买股票，收益为 $dp[i][j]=-j\times AP_i,j\in[0,AS_i]$

$3.$ 枚举在第 $i-w-1$ 天有 $k$ 支股票，今天买到 $j$ 支，$dp[i][j]=\max\limits_{k=j-AS_i}^{j-1}(dp[i-w-1][k]-(j-k)\times AP_i)$

$4.$ 枚举在第 $i-w-1$ 天有 $k$ 支股票，今天卖到 $j$ 支，$dp[i][j]=\max\limits_{k=j+1}^{j+BS_i}(dp[i-w-1][k]+(k-j)\times BP_i)$

复杂度瓶颈在于枚举 $k$ 的朴素转移，总复杂度 $O(nP^2)$。容易发现，在固定了 $i,j$ 之后，第三种和第四种转移就是在长度固定的连续单调区间中找最值，显然能单调队列优化，能优化到 $O(nP)$。注意单调队列初始的指针赋为 $h=1,t=0$，这样才能让第一个元素正确。

P2034 选择数字

发现以前用优先队列过了一道单调队列优化dp的题，看来是自己做的了。

朴素转移很简单，令 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个数不选 $i$ 时的答案：$dp[i]=\max\limits_{j=i-k}^i(sum[i-1]-sum[j-1]+dp[j-1])$，答案便是 $dp[n+1]$。

单调队列是显然的，但我用的优先队列。考虑到转移过来的 $j$ 的范围只和 $i$ 有关且是单调的，于是考虑在优先队列里塞 pair(-sum[j-1]+dp[j-1],1)，前者是只和 $j$ 相关的贡献，后者是编号。当枚举到 $i$ 时取堆顶元素就行了，如果无法从其转移就不断弹出。

P2254 [NOI2005] 瑰丽华尔兹

朴素dp：令 $dp[i][x][y]$ 表示 $i$ 时刻在 $(x,y)$ 的答案，初始是 $0$ 时刻，转移很容易。

这个状态是很难优化的，$i$ 和 $(x,y)$ 都不好拆开维护。考虑重设状态 $dp[i][x][y]$ 表示第 $i$ 个时间段在 $(x,y)$ 时的答案。转移是 $dp[i][x][y]=\max(dp[i-1][x'][y']+dis)$，这个 $dis$ 对不同的方向需要分讨。以当前时间段的方向向南为例，设这段时间长 $len$，那么具体的转移就是 $dp[i][x][y]=\max\limits_{p=x-len}^x(dp[i-1][p][y]+x-p)$，可以考虑将定值搬到 $\max$ 外，写成： $dp[i][x][y]=\max\limits_{p=x-len}^x(dp[i-1][p][y]-p)+x$。这个时候已经可以发现，转移的范围就是一段长为 $len$ 的连续的区间，可以用单调队列优化掉枚举 $p$ 的过程。空间的话直接开是开得下的，也可以滚动数组优化掉 $i$ 这一维。注意四个方向的转移顺序和转移式都不一样。

P3800 Power收集

我傻。直接就是滑动窗口，但是 $j$ 在窗口的正中间。试过不能正反两次单调队列，于是考虑在开始对每一行开始dp前就把 $1\sim T$ 的元素入队，然后不断加入 $j+T$ 的元素，在加入元素的时候就顺便把该退役的元素给弹出了。