扫描线

合集 - 学习笔记(12)

1.并查集2023-11-242.多项式相关2023-11-243.CDQ分治2023-12-174.数论2023-12-155.数据结构2024-01-276.树分治2024-09-237.斜率优化（李超树）2024-06-268.贪心2024-08-069.单调队列优化dp2024-10-31

10.扫描线2024-10-29

11.网络流&费用流&二分图2024-10-2912.深搜DFS2023-03-25

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之前写的搬一下

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扫描线应该说是一种数据结构的维护思想，处理的问题经常是查询一段区间内子区间的信息，并且可以离线处理。

大致的流程是把询问离线下来，按某个东西排序，然后从 $1$ 到 $n$ 遍历序列，不断加上维护的信息，在某些时刻（比如到达一个询问的端点时）把对应询问的答案给搞出来，放到数组里面，接下一个询问。

刚才有个大佬回复说：扫描线本质上就是把一个维度轴当做时间轴来看，然后拿点 DS 去维护这个“时间轴”前进过程中的变化。这就很形象地解释了修改和查询一起进行的过程。这样我们边修改边查询，修改 $n$ 次查询 $m$ 次，复杂度 $O((n+m)\log n)$。

大概的代码框架，很简单：

for(int i=1,j=1;i<=n;++i){
		update();
		while(j<=m&&q[j].r==i){
			ans[q[j].id]=query();
			++j;
		}
	}

P9991 Ynoi Easy Round 2023 TEST_107

我们考虑一个极长子区间可能是长啥样的，有三种可能：

$1.$ $[l′,r′]=[l,i]$，满足 $a_{i+1}=x,\forall j\in[l,i],a_j\neq x$

$2.$ $[l′,r′]=[i,r]$，满足 $a_{i-1}=x,\forall j\in[i,r],a_j\neq x$

$3.$ $l′>l,r′<r$，满足 $a_{l′-1}=a_{r′+1}=x,\forall j\in[l′,r′],a_j\neq x$

先考虑 $1$，我们记录 $las_i$ 表示上一个 $a_i$ 所在的位置。扫描线每扫过一个 $i$ 就把线段树上 $las_i$ 的位置改为 $i$，这样你在 $r_j=i$ 时线段树上 $[0,l_j-1]$ 的最大值就代表 $[l_j,r_j]$ 中那个符合 $1$ 情况的 $i$。$2$ 情况只需要将整个序列倒过来，更新 $las_i$，同时把询问也倒过来，进行和 $1$ 情况相同的操作就行。$3$ 情况扫到 $i$ 的更新就变成了把 $las_i$ 位上变成 $(i-1)-(las_i+1)+1$，查询就直接查 $[l_j,r_j]$ 的最大值即可。

再说一下扫描线具体是怎么扫的：我们从 $1$ 到 $n$ 遍历原序列，每扫到一个 $i$ 就 update，将线段树上 $las_i$ 位置（一般化地来说就是和 $i$ 形成有贡献的区间的一个位置）修改为 $i$，表示在查询的区间包含 $las_i$ 时 $[las_i,i]$ 这段区间是被包含的，可以产生贡献的。每扫到一个 $r_j=i$ 时就进行查询，把答案更新到数组对应编号中，一次这样的扫描线是 $O((n+m)\log n)$ 的。

for(int i=1,j=1;i<=n;++i){
		update(1,0,n,las[i],i); //注意这里会有-1，会涉及到0
		while(j<=m&&q[j].r==i){
			ans[q[j].id]=max(ans[q[j].id],query(1,0,n,0,q[j].l-1)-q[j].l);
			++j;
		}
	}

GSS2 - Can you answer these queries II

有参考价值的。显然不能像GSS1那样直接线段树维护前后缀最大子段和了，因为涉及到子区间，考虑能不能离线下来扫描线处理。这里有个trick：我们让线段树的每个叶节点表示以 $i$ 为开头的最大子段和，每次在线段树上对 $[las_i+1,i]$ 加上 $a_i$，这样就能保证相同的数的贡献覆盖区间无交，并维护区间历史最大值。维护历史最大值是很容易感性理解的，你还需要同时维护历史最大的 tag。

P9990 Ynoi Easy Round 2023 TEST_90

因为涉及到子区间个数计数，也就是需要考虑到所有子区间。一个trick是考虑扫描线记录线段树上的历史版本和，很好感性理解，因为我们扫描线是在不断加上新的元素的贡献，相当于将区间右端点的取值范围扩展到了当前的 $i$，所以所有区间的答案之和就是所有历史版本之和。

然后考虑对每个数考虑他的贡献。显然他能影响到的区间和前几道题一样还是 $[las_i+1,i]$，而他的贡献相当于是将所有区间答案的奇偶性取反。想要统计答案还需要记录每个节点上答案为 $0/1$ 的区间个数被统计的次数，记为 $t0,t1$，这样每个区间的答案就是两个 tag 乘上对应答案的子区间个数。注意你每次修改都要对 $[1,n]$ 额外修改一次 t[1].t1++,t[1].ans+=t[1].sum1;，这样这个 $t1$ 就可以下传到整颗线段树。

CF522D

扫描线板题，独立秒了欸。将 $las[i]$ 修改成 $i-las[i]$ 然后查区间最小值就做完了。