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点分治

适合处理大规模的树上路径信息。

实现

取一个中心点计算跨过中心点的贡献。（lsy说得精辟但抽象）

先随便指定一个根 $rt$ ，我们能将树上的路径分为经过 $rt$ 的路径和包含于 $rt$ 的某棵子树内的路径（不经过 $rt$ ）。

对于经过当前根节点的路径，又可以分为两种，一种是以根节点为一个端点的路径，另一种是两个端点都不为根节点的路径。而后者又可以由两条属于前者的链合并得到。

接着我们枚举 $rt$ ，先计算在其子树中且经过该节点的路径对答案的贡献，再递归其子树对不经过该节点的路径进行求解。

OI-wiki说着有点抽象，其实就是不断地在上一个中心点的子树中去取一个新中心点，然后一直去求解某一类路径，就是一个分治的思想。

然后随便找一个中心点的话如果树是一条链这个分治就会退化为 $O(n^{\mathbf 2})$ ，所以我们要让递归层数尽量少，管的什么证明反正就是取树的重心。重心定义不再赘述，写下求法：记录 $maxp[u]$ 表示删掉 $u$ 之后产生的最大子树大小，重心就是 $maxp$ 最小的点。下面是求法：

点击查看代码

void find(ll u,ll fa){
	siz[u]=1,maxp[u]=0;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to;
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		find(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		maxp[u]=max(maxp[u],siz[v]);
	}
	maxp[u]=max(maxp[u],sums-siz[u]); //sums是会变的子树总大小，会在分治过程中变为siz[v]
	if(maxp[u]<maxp[rt]) rt=u;
}

结合具体题目来分治。

题

P3806 【模板】点分治 1

首先离线询问省得每次都搞一遍淀粉质，然后先找到重心然后开始分治。每次求答案就把重心子树内的点到重心的距离求出来，然后枚举询问看有没有点的距离满足询问，这里具体是这样判的：开一个数组 $flag_i$ 表示有没有点到重心的距离为 $i$ ，if(q[k]>=dist[j]&&!ans[k]) ans[k]=fl[q[k]-dist[j]];。

然后我们要记得清空这个 $flag$ 数组，于是考虑开一个桶记录哪些 $i$ 修改过。但是这里有些细节问题， $dis[j]$ 可能太大了就会爆掉桶，所以要特判一下。

还有一些细节：我们每一次重新找重心都是先设为 $\mathbf 0$ ，然后树总的大小就变成了 $siz[v]$ ，因为我们是进入 $v$ 的子树来分治的；一开始 $flag_{\mathbf{0}}$ 就要设成 $\mathbf 1$ ，毕竟也可能一个点和中心的距离直接就是询问值；然后数组开大，还有点细节看代码吧。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=114514,M=10000005; //注意数据范围 
struct xx{
	ll next,to,val;
}e[2*N];
ll head[2*N],cnt;
void add(ll x,ll y,ll z){
	e[++cnt].next=head[x];
	e[cnt].to=y;
	e[cnt].val=z;
	head[x]=cnt;
}
ll n,m,q[N],rt,sums;
ll siz[N],dis[N],maxp[N];
bool vis[N],fl[M],ans[M];
ll bu[M],tot;
void find(ll u,ll fa){
	siz[u]=1,maxp[u]=0;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to;
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		find(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		maxp[u]=max(maxp[u],siz[v]);
	}
	maxp[u]=max(maxp[u],sums-siz[u]);
	if(maxp[u]<maxp[rt]) rt=u;
}
ll res,dist[N];
void dfs_dis(ll u,ll fa){
	dist[++res]=dis[u];
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to,w=e[i].val;
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dis[v]=dis[u]+w;
		dfs_dis(v,u);
	}
}
void calc(ll u){
	tot=0;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to,w=e[i].val;
		if(vis[v]) continue;
		res=0,dis[v]=w;
		dfs_dis(v,u);
		for(int j=1;j<=res;++j) //枚举点 
			for(int k=1;k<=m;++k)//枚举询问 
				if(q[k]>=dist[j]&&!ans[k]) ans[k]=fl[q[k]-dist[j]];
		for(int j=1;j<=res;++j)
			if(dist[j]<=1e7) bu[++tot]=dist[j],fl[dist[j]]=1;
	}
	for(int i=1;i<=tot;++i) fl[bu[i]]=0;
}
void solve(ll u){
	vis[u]=1;
	calc(u);
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to;
		if(vis[v]) continue;
		rt=0,maxp[rt]=N,sums=siz[v];
		find(v,0),solve(rt);
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>n>>m; sums=n;
	for(int i=1;i<n;++i){
		ll a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		add(a,b,c),add(b,a,c);
	}
	for(int i=1;i<=m;++i) cin>>q[i];
	rt=0,sums=maxp[rt]=n,fl[0]=1;
	find(1,0),solve(rt);
	for(int i=1;i<=m;++i)
		if(ans[i]) cout<<"AYE\n";
		else cout<<"NAY\n";
	return 0;
}

P4178 Tree

既然是小于等于 $k$ ，那就珂以用一个树状数组来维护小于等于 $k$ 的点对距离数量。

这个题对于上个题就 calc 函数改了一下。这里面就先求出子树内的距离，然后先查询 $k-dist_j$ ，然后再对每个 $dist_j$ 修改加一，也要用桶记录然后清零，注意应该先判 $dist_j$ 是否小于等于 $k$ ，然后就没了，比双指针更好理解。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=114514,M=10000005;
struct xx{
	ll next,to,val;
}e[2*N];
ll head[2*N],cnt;
void add(ll x,ll y,ll z){
	e[++cnt].next=head[x];
	e[cnt].to=y;
	e[cnt].val=z;
	head[x]=cnt;
}
ll n,K,rt,sums,ans;
ll siz[N],dis[N],maxp[N];
bool vis[N];
ll bu[M],tot,c[N];
ll lowbit(ll x){return x&-x;}
void update(ll x,ll k){
	while(x<=K){ //注意这里是加到K
		c[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}
ll query(ll x){
	ll ans=0;
	while(x){
		ans+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
void find(ll u,ll fa){
	siz[u]=1,maxp[u]=0;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to;
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		find(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		maxp[u]=max(maxp[u],siz[v]);
	}
	maxp[u]=max(maxp[u],sums-siz[u]);
	if(maxp[u]<maxp[rt]) rt=u;
}
ll res,dist[N];
void dfs_dis(ll u,ll fa){
	dist[++res]=dis[u];
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to,w=e[i].val;
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dis[v]=dis[u]+w;
		dfs_dis(v,u);
	}
}
void calc(ll u){
	tot=0;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to,w=e[i].val;
		if(vis[v]) continue;
		dis[v]=w,res=0;
		dfs_dis(v,u);
		for(int j=1;j<=res;++j)
			if(dist[j]<=K) ans+=query(K-dist[j]);
		for(int j=1;j<=res;++j)
			if(dist[j]<=K) update(dist[j],1),bu[++tot]=dist[j],++ans;
	}
	for(int i=1;i<=tot;++i) update(bu[i],-1);
}
void solve(ll u){
	vis[u]=1;
	calc(u);
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v=e[i].to;
		if(vis[v]) continue;
		rt=0,maxp[rt]=N,sums=siz[v];
		find(v,0),solve(rt);
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>n; sums=n;
	for(int i=1;i<n;++i){
		ll a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		add(a,b,c),add(b,a,c);
	}
	cin>>K;
	rt=0,sums=maxp[rt]=n;
	find(1,0),solve(rt);
	cout<<ans;
	return 0;
}

我发现你为什么对淀粉质半懂不懂呢？因为你之前连分治都不懂/jk/jk

不过现在算是懂了，就相当于是把分治过程从区间搬到树上，区间中点变成了树的重心，然后计算跨过中点的区间造成的贡献。

不就这样，有啥好说的？证明以前真不知道是啥东西了。初一初二落下的东西影响太大了，你像这样的题本身就没有打好基础，你能保证说他能在CSP-S2023或者NOIP2024中拿个一等？

P6626 [省选联考 2020 B 卷] 消息传递

多次询问与 $u$ 距离为 $k$ 的点的个数。

考虑点分治，把每个询问离线下来挂到点上。令当前的分治中心为 $u$ ，我们记录下 $u$ 子树中每种深度的点有多少个，对于 $u$ 上的询问来说贡献就是 $cnt[k-dept[u]]$ 。当我们进入儿子 $v$ 时， $v$ 子树中的点的深度相对于 $u$ 子树中的要小一，所以进入之前要先更新 $cnt$ ，出来之后也是。具体来说更新方法就是遍历一遍子树：

void dfs_upd(ll u,ll fa,ll k){
	cnt[dept[u]]+=k; //k=1或-1
	for(int v:g[u]){
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dfs_upd(v,u,k);
	}
}

然后按正常点分治框架来就行了，注意多测清空。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll int
#define eb emplace_back
const ll N=114514,M=1919810;
ll T;
vector <ll> g[N];
struct que{ll k,id;};
vector <que> q[N];
ll n,m,rt,sums,ans[N];
ll siz[N],maxd[N];
bool vis[N];
void find(ll u,ll fa){
	siz[u]=1,maxd[u]=0;
	for(int v:g[u]){
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		find(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		maxd[u]=max(maxd[u],siz[v]);
	}
	maxd[u]=max(maxd[u],sums-siz[u]);
	if(maxd[u]<maxd[rt]) rt=u;
}
ll dept[N],cnt[N]; //每个深度的个数
void dfs_dis(ll u,ll fa){
	++cnt[dept[u]];
	for(int v:g[u]){
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dept[v]=dept[u]+1;
		dfs_dis(v,u);
	}
}
void dfs_upd(ll u,ll fa,ll k){
	cnt[dept[u]]+=k;
	for(int v:g[u]){
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dfs_upd(v,u,k);
	}
}
void dfs_calc(ll u,ll fa){
	for(auto x:q[u]){
		ll k=x.k-dept[u];
		if(k<0) continue;
		ans[x.id]+=cnt[k];
	} 
	for(int v:g[u]){
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dfs_calc(v,u);
	}
}
void calc(ll u){
	dept[u]=0,dfs_dis(u,0);
	for(auto x:q[u]){
		ll k=x.k-dept[u];
		if(k<0) continue;
		ans[x.id]+=cnt[k];
	}
	for(int v:g[u]){
		if(vis[v]) continue;
		dfs_upd(v,u,-1);
		dfs_calc(v,u);
		dfs_upd(v,u,1);
	}
	dfs_upd(u,0,-1);
	//注意每换一个点深度就要更改 
}
void solve(ll u){
	vis[u]=1;
	calc(u);
	for(int v:g[u]){
		if(vis[v]) continue;
		rt=0,maxd[rt]=N,sums=siz[v];
		find(v,0),solve(rt);
	}
}
void solve_main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i) g[i].clear(),q[i].clear(),vis[i]=0; //询问没清空/jk 
	for(int i=1;i<=m;++i) ans[i]=0;
	for(int i=1;i<n;++i){
		ll a,b;
		cin>>a>>b;
		g[a].eb(b),g[b].eb(a);
	}
	for(int i=1,x,k;i<=m;++i){
		cin>>x>>k;
		q[x].eb(que{k,i});
	}
	sums=maxd[rt]=n;
	find(1,0),solve(rt);
	for(int i=1;i<=m;++i) cout<<ans[i]<<'\n';
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>T;
	while(T--) solve_main();
	return 0;
}

posted @ 2024-09-23 18:01 和蜀玩阅读(17) 评论(0) 编辑收藏举报

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难以触及的希望愈加朦胧的前方

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