poj3070 Fibonacci

Fibonacci
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Description

In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn − 1 + Fn − 2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

.

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of Fn.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

Output

For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fn are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).

Sample Input

0
9
999999999
1000000000
-1

Sample Output

0
34
626

6875

这题可以用矩阵快速幂,算是入门题。

方法一:直接计算.

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 0x7fffffff
#define pi acos(-1.0)
#define MOD 10000
ll fast_mod(ll n)
{
    ll i,j,k;
    ll ans[2][2]={1,0,0,1}; //初始化为单位矩阵,也是最终的答案
    ll temp[2][2];  //做为矩阵乘法中的中间变量
    ll a[2][2]={1,1,1,0};
    while(n)
    {
        if(n&1){        //实现 ans*=t,其中要先把ans赋值给tmp然后用ans=tmp*t
            for(i=0;i<2;i++){
                for(j=0;j<2;j++){
                    temp[i][j]=ans[i][j];
                }
            }
            ans[0][0]=ans[0][1]=ans[1][0]=ans[1][1]=0;
            for(i=0;i<2;i++){
                for(j=0;j<2;j++){
                    for(k=0;k<2;k++){
                        ans[i][j]=(ans[i][j]+(temp[i][k]*a[k][j]+MOD)%MOD+MOD  )%MOD;
                    }
                }
            }
        }
        for(i=0;i<2;i++){
            for(j=0;j<2;j++){
                temp[i][j]=a[i][j];
            }

        }
        a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=0;
        for(i=0;i<2;i++){
            for(j=0;j<2;j++){
                for(k=0;k<2;k++){
                    a[i][j]=(a[i][j]+(temp[i][k]*temp[k][j]+MOD)%MOD+MOD )%MOD; //这里先加MOD然后再取模是为了模完后不为负数
                }
            }
        }
        n>>=1;
    }
    return (ans[0][1]+MOD)%MOD;
}


int main()
{
    ll n,m,i,j;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF && n!=-1){
        printf("%lld\n",fast_mod(n));
    }
    return 0;
}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           方法二:考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A,得到矩阵:【f[n-1],f[n]】。


即:【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】


可以构造出这个2×2矩阵A,即:
0 1 
1 1
所以,有【f[1],f[2]】×A=【f[2],f[3]】
又因为矩阵乘法满足结合律,故有:
【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】                                                                                                                                                                                                                                <pre name="code" class="cpp">#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 0x7fffffff
#define pi acos(-1.0)
#define MOD 10000
ll ans[2][2];
void fast_mod(ll n)
{
    ll i,j,k;
    ll temp[2][2];  //做为矩阵乘法中的中间变量
    ll a[2][2]={0,1,1,1};
    while(n)
    {
        if(n&1){        //实现 ans*=t,其中要先把ans赋值给tmp然后用ans=tmp*t
            for(i=0;i<2;i++){
                for(j=0;j<2;j++){
                    temp[i][j]=ans[i][j];
                }
            }
            ans[0][0]=ans[0][1]=ans[1][0]=ans[1][1]=0;
            for(i=0;i<2;i++){
                for(j=0;j<2;j++){
                    for(k=0;k<2;k++){
                        ans[i][j]=(ans[i][j]+(temp[i][k]*a[k][j]+MOD)%MOD+MOD  )%MOD;
                    }
                }
            }
        }
        for(i=0;i<2;i++){
            for(j=0;j<2;j++){
                temp[i][j]=a[i][j];
            }

        }
        a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=0;
        for(i=0;i<2;i++){
            for(j=0;j<2;j++){
                for(k=0;k<2;k++){
                    a[i][j]=(a[i][j]+(temp[i][k]*temp[k][j]+MOD)%MOD+MOD )%MOD; //这里先加MOD然后再取模是为了模完后不为负数
                }
            }
        }
        n>>=1;
    }
}


int main()
{
    ll n,m,i,j;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF && n!=-1){
        if(n==0){
            printf("0\n");continue;
        }
        if(n==1){
            printf("1\n");continue;
        }
        if(n==2){
            printf("1\n");continue;
        }
        ans[0][0]=1;
        ans[0][1]=0;
        ans[1][0]=0;
        ans[1][1]=1;
        fast_mod(n-1);
        printf("%lld\n",ans[1][1]%MOD   );
    }
    return 0;
}


快速幂模板:
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 0x7fffffff
#define pi acos(-1.0)
#define MOD 10000
struct matrix{
    ll n,m,i;
    ll data[99][99];
    void init_danwei(){
        for(i=0;i<n;i++){
            data[i][i]=1;
        }
    }
}a,b,c,d,t;

matrix multi(matrix &a,matrix &b){
    ll i,j,k;
    matrix temp;
    temp.n=a.n;
    temp.m=b.m;
    for(i=0;i<temp.n;i++){
        for(j=0;j<temp.m;j++){
            temp.data[i][j]=0;
        }
    }
    for(i=0;i<a.n;i++){
        for(k=0;k<a.m;k++){
            if(a.data[i][k]>0){
                for(j=0;j<b.m;j++){
                    temp.data[i][j]=(temp.data[i][j]+(a.data[i][k]*b.data[k][j])%MOD )%MOD;
                }
            }
        }
    }
    return temp;
}

matrix fast_mod(matrix a,ll n){
    matrix ans;
    ans.n=a.n;
    ans.m=a.m;
    memset(ans.data,0,sizeof(ans.data));
    ans.init_danwei();
    while(n>0){
        if(n&1)ans=multi(ans,a);
        a=multi(a,a);
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n,m,i,j;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF && n!=-1)
    {
        a.data[0][0]=a.data[0][1]=a.data[1][0]=1;
        a.data[1][1]=0;
        a.n=a.m=2;
        matrix ant=fast_mod(a,n);
        printf("%lld\n",ant.data[0][1]%MOD);
    }
    return 0;
}



            
posted @ 2015-12-01 21:33  Herumw  阅读(88)  评论(0编辑  收藏  举报