[例解算法](1) - 动态规划法求解01背包问题

01背包问题是有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是v[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。而动态规划法说白了就是填表法。下面不讲原理、不讲概念，以一个例题，用通俗的语言，来说明动态规划法求解01背包问题。

假设有4个物品，它们的价值(v)和重量(w)如下：

物品	1	2	3	4
v	2	4	3	7
w	2	3	5	5

背包总容量为10，现在要从中选择物品装入背包中，要求物品的重量不能超过背包的容量，并且最后放在背包中物品的总价值最大。

首先，我们定义一个二维数组，每一格代表当前最大价值，行j代表背包容量，从0 ~ 10，列i代表物品序号，从0 ~ 1，其中，物品0代表重量为0，价值为零，引入它的原因是方便计算：

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0
1
2
3
4

很明显，第一行和第一列都是0，因为第一行代表该物品价值为0，不管背包容量究竟是多少它只能为0，而第一列代表背包容量为0，不管物品有多少，它都装不下：

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0
2	0
3	0
4	0

接着开始从左到右，从上到下的顺序(就是普通的写字顺序)填表，每一个格子在填写时考虑紧挨着它的正上方，正左方，斜左上方的格子，该表格要么填斜上方的值+此行物品的价值，要么填正上方的值或者正左方的值，三者取最大。第一个格子代表将物品1放入容量为1的背包中，由于物品1的重量为2，所以这个格子只能填0：

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0
2	0
3	0
4	0

紧接着填第二个格子，由于容量为2的背包足够放入，然后它就需要决定是否放入，如果放入，那么就将该物品的价值与斜左上方的格子里的值相加，这里是0+2=2，如果不放入，那么就直接填入正上方或者正左方格子的值，这里都是0，那么就需要比较最大值，很明显放入时的值最大，那么这个格子填2：

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	2
2	0
3	0
4	0

紧接着填第三个格子，同样的，要么取斜上方的值+物品价值，要么取正上方或者正左方的值，这里斜上方值+物品价值=正左方值=2，正上方值=0，那么只能填2：

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	2	2
2	0
3	0
4	0

按照这个规律将该行填满：

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	2	2	2	2	2	2	2	2	2
2	0
3	0
4	0

接着填下一行第一个，物品2的重量是3，价值是4，那么它只能到第三个格才能插入：

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	2	2	2	2	2	2	2	2	2
2	0	0	2	4
3	0
4	0