2020.11.27

二分图

设二分图\(G\)的两部分为\(X\)和\(Y\)，且\(\left| X \right| \leq \left| Y \right|\)。那么，

二分图\(G\)存在完美匹配\(\iff \forall s\in X，|t| \geq |s|\)（其中\(t\)为与\(s\)相连的点集）

• \(“\Rightarrow”\)：

  假设二分图\(G\)存在完美匹配，且\(\exist s \in X，|t|<|s|\)。

  那么对于这\(s\)中的点，他们能对应的点只有\(|t|\)个。然而每个点只能对应一个，所以\(G\)不存在完美匹配，矛盾！。

• \(“\Leftarrow”\)：

  假设\(\forall s\in X，|t| \geq |s|\)，但\(G\)不存在完美匹配。

  那么对于最大匹配中的一个\(s\)，其中存在\(u \in s\)没有匹配，显然\(u\)相连的点都匹配了，设\(u\)和\(v\)相连，设与\(v\)匹配的点为\(z\)。容易发现\(z\)必须还有另外一个相连的点\(k\)（不然\(s\)取\({u,z}\)就不满足条件），显然\(k\)也已经匹配了（不然就找到一条\(u->v->z->k\)的增广路了）。如此一直找匹配的点，只能把\(Y\)中的点取完。如果取完了，那就存在完美匹配了。无论什么情况都能矛盾！