对偶微分形式
以$\Lambda_{p}(l)$代表$p\in M$的全体$l$形式的集合$\left(l\le n\right)$，则有
$$\text{dim}\Lambda_p\left(l\right)=\frac{n!}{l!\left(n-l\right)!}=\text{dim}\Lambda_{p}\left(n-l\right)。$$
若$M$是带度规$g_{ab}$的定向流形，$\bm\varepsilon$为适配体元，则可以用$\bm\varepsilon$及$g_{ab}$在$\Lambda_{M}(l)$和$\Lambda_{M}\left(n-l\right)$之间定义一个同构映射（矢量空间之间的一一到上的线性映射）：
定义1 $\forall\bm{\omega}\in\Lambda_{M}\left(l\right)$，定义其对偶微分形式$^*\bm{\omega}\in\Lambda_{M}\left(n-l\right)$为：
$$^*\omega_{a_{1}\cdots a_{n-l}}:=\frac{1}{l!}\omega^{b_{1}\cdots b_{l}}\varepsilon_{b_{1}\cdots b_{l}a_{1}\cdots a_{n-l}}，$$
其中$\omega^{b_{1}\cdots b_{l}}$是用度规$g_{ab}$升指标得到的，即
$$\omega^{b_{1}\cdots b_{l}}=g^{b_1a_1}\cdots g^{b_la_l}\omega_{a_1\cdots a_l}，$$
$^*$称为$\text{Hodge star}$。
例： $f\in\mathscr{F}_M$是$0$形式场，根据定义，其对偶微分形式为
$$^*f_{a_1\cdots a_{n}}=\frac{1}{0!}f\varepsilon_{a_1\cdots a_{n}}=f\varepsilon_{a_1\cdots a_{n}}，$$
即适配体元$\bm{\varepsilon}$的$f$倍，因此函数$f$的积分$\int_Mf=\int_Mf\bm{\varepsilon}$定义为其对偶形式场的积分。对上面式子再取$^*$有
$$^*\left(^*f\right)=^*\left(f\bm{\varepsilon}\right)=\frac{1}{n!}f\varepsilon^{a_1\cdots a_n}\varepsilon_{a_1\cdots a_n}=\left(-1\right)^sf，$$
$s$是正交归一基底中的度规分量的$-1$的个数。
定理：$$ ^*(^*\bm \omega)=(-1)^{s+l(n-l)}\bm\omega $$
证明：
$\bm\omega\in\Lambda_{M}\left(l\right)，$且$\text{dim}M=n。$利用对偶微分形式的定义有
$$^*\bm\omega_{b_1\cdots b_{n-l}}=\frac{1}{l!}\bm\omega^{a_1\cdots a_{l}}\bm\varepsilon_{a_1\cdots a_{l}b_1\cdots b_{n-l}}。$$
再次利用对偶微分形式的定义
$$^* \left(^*\bm\omega\right)_{c_1\cdots c_l}=\frac{1}{(n-l)!}\frac{1}{l!}\bm\omega_{a_1\cdots a_{l}}\varepsilon^{a_1\cdots a_l b_1\cdots b_{n-l}}\varepsilon_{b_1\cdots b_{n-l}c_1\cdots c_l}$$
注意到
$$\varepsilon^{a_1\cdots a_{l}b_1\cdots b_{n-l}}=(-1)^{l(n-l)}\varepsilon^{b_1\cdots b_{n-l}a_1\cdots a_l}$$
并且
$$\varepsilon^{b_1\cdots b_{n-l}a_1\cdots a_l}\varepsilon_{b_1\cdots b_{n-l}c_1\cdots c_l}=(-1)^s(n-l)!l!\delta^{[a_1} \,_{c_1}\cdots\delta^{a_l]}\,_{c_l}$$
于是有
$$^*\left(^*\bm\omega\right)=\left(-1\right)^{s+l\left(n-l\right)}\bm\omega$$
我们可以用微分几何观点重新观察三维欧氏空间$(\mathbb{R}^3,\delta_{ab})$上的矢量代数和矢量场论（其中$M$就是$\mathbb{R^3}$）。比如三维欧氏空间中的叉乘可以看做是楔积的对偶形式。
三维欧氏空间中的矢量场论：
1. $\vec{\nabla}f=\partial_{a}f；$
2. $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\partial_aA^a；$
3. $\vec{\nabla}\times\vec{A}=\varepsilon^{abc}\partial_aA_b；$
4. $\vec{\nabla}(\vec A\vec B)=\partial_{a}(A^aB^b)；$
5. $\vec{\nabla}\vec{A}=\partial^{a}A^b；$
6. $\nabla^2f=\partial_a\partial^af；$
7. $\nabla^2\vec{A}=\partial_a\partial^aA^b。$
3维欧氏空间的梯度、旋度和散度可以用外微分简单表述：
定理：
$$\text{grad}f=df,\text{curl}\vec{A}=^*d\bm{A},\text{div}\vec{A}=^*d(^*\bm{A})$$
证明：
$$\text{grad}f=\nabla_af=df$$
$$\text{curl}\vec{A}=\varepsilon_a\,^{bc}\partial_aA_b=\frac12\varepsilon_a\,^{bc}(dA)_{ab}=^*d\bm{A}$$
下面看第三式左边：
$$^* d(^*\bm A)=\nabla_aA^a$$
第三式右边：
\[\begin{aligned} &^*d(^*\bm A)\\ =&^*d(\frac{1}{1!}A^a\varepsilon_{abc})\\ =&^*3\nabla_{[d}A^a\varepsilon_{|a|bc]}\end{aligned}\]
参考：
1.《微分几何入门与广义相对论》上册p121-p124.
