上下界网络流学习笔记

无源汇上下界可行流

一些点，一堆边，每条边要满足流量限制\([l,r]\)

先令每条边流量等于流量下限，得到初始流，初始流可能不满足流量守恒，再建出残量网络(上限-下限)，求出可能不满足流量守恒的附加流，使附加流和初始流合并后满足流量守恒

如何建残量网络

定义\(a[i]\)表示初始流中流入量-流出量

若\(a[i]>0\)表示流入量大于流出量，附加量需要流入量小于流出量

若\(a[i]<0\)表示流入量小于流出量，附加量需要流入量大于流出量

若\(a[i]=0\)表示流入量=流出量，附加中流入量等于流出量

问题变为多余的流入量和流出量从哪来

新建虚拟结点\(ss\)和\(tt\)

对于\(a[i]>0\)，附加量流出量大于流入量，\(i\)向\(tt\)连一条\(a[i]\)的边

\(a[i]<0\)，附加量流入量大于流出量，\(ss\)向\(i\)连一条\(-a[i]\)的边

若在残量网络上一个满流，这个流就是我们需要的附加流

最后，每条边的可行流\(=\)流量下界\(+\)附加流中这条边的流量

有源汇上下界可行流

有原点\(s\)和汇点\(t\)，还有一些边，每条边有一个限制\([l,r]\)

即使有了源和汇，也可以转换为无源汇，因为\(s\)的流出量\(=t\)的流入量，就从\(t\)向\(s\)连一条下界为\(0\)上界为\(+\infty\)的边，跑无源汇上下界可行流，最终的可行流就是\(t\)到\(s\)的边上的流量

有源汇上下界最大流

有原点\(s\)和汇点\(t\)，还有一些边，每条边有一个限制\([l,r]\)，求出最大流

先求出可行流，再从原图残量网络中求出最大流，最大流就是可行流\(+\)最大流

有源汇上下界最小流

有原点\(s\)和汇点\(t\)，还有一些边，每条边有一个限制\([l,r]\)，求出最小流

先求出可行流

因为dinic中，反向边流量增加\(=\)正向边流量减小，所以，从\(t\)向\(s\)求一边最大流，可行流大小-\(t\)到\(s\)的最大流就是最小流

有源汇上下界最小费用流

建边：
对于边\(u\to v\)，费用为\(w\)，流量为\([l,r]\)
建成三条：
\(s\to v\)，费用为\(w\)，流量为\(l\)
\(u\to t\)，费用为\(0\)，流量为\(l\)
\(u\to v\)，费用为\(w\)，流量为\(r-l\)
跑最小费用最大流