bzoj2876 [NOI2012]骑行川藏（拉格朗日乘数法）

题目描述

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。

由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑\(N\)段路，每一段内的路况可视为相同：对于第\(i\)段路，我们给出有关这段路况的3个参数 \(s_i ,k_i ,v_i'\) ，其中 \(s_i\) 表示这段路的长度， \(k_i\) 表示这段路的风阻系数， \(v_i'\) 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为\(v\)，则他受到的风阻大小为 \(F = k_i ( v - v_i' )^2\)（这样若在长度为\(s\)的路程内保持骑行速度\(v\)不变，则他消耗能量（做功）\(E = k_i ( v - vi' )^2 s\)。

设蛋蛋在这天开始时的体能值是 \(Eu\) ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间\(T\)是多少。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含一个正整数\(N\)和一个实数\(Eu\)，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。
接下来\(N\)行分别描述\(N\)个路段，每行有3个实数 \(s_i , k_i , v_i'\) ，分别表示第 \(i\) 段路的长度，风阻系数以及风速。
输出格式：
输出一个实数\(T\)，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后\(6\)位。

输入输出样例

输入样例#1：

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

输出样例#1：

12531.34496464

说明

【数据规模与约定】
对于10%的数据，\(N=1\)；

对于40%的数据，\(N<=2\)；

对于60%的数据，\(N<=100\)；

对于80%的数据，\(N<=1000\)；

对于所有数据，\(N \leq10000\)，\(0 \leq Eu \leq 10^8,0 < s_i \leq 100000,0 < k_i \leq 1,-100 < v_i' < 100\)。数据保证最终的答案不会超过\(10^5\)。
【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

题解

先讲一讲拉格朗日乘数法：
拉格朗日乘数法是用来解决多元函数的最优值问题（最大、最小）
一般形式为：函数\(f(x_1,x_2,x_3..x_n)\)满足限制\(g_i(x_1,x_2,x_3...x_n)=0,(i\in 1,2,3....m)\)
解法：定义\(h(x_1,x_2,x_3...x_n,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3...\lambda_m)=f(x_1,x_2,x_3...x_n)+\Sigma_{i=1}^m\lambda_ig_i(x_1,x_2,x_3...x_n)\)
函数\(h\)的极值就是函数\(f\)的最优值
\(h\)极值用导数求

再回到这道题，只需要满足一种限制：\(g(x)=\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2\leq Eu\)，并且，当\(g(x)=Eu\)时最优；
于是就有\(g(x)\)函数：\(g(x)=\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2-Eu=0\)
\(f(x)\)函数为：\(f(x)=\Sigma_{i=1}^n \frac {s_i}{x_i}\)，\(x_i\)为每段路的骑行速度

则\(h(x)=\Sigma_{i=1}^n \frac{s_i}{x_i}+\lambda\ast\Sigma s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2-Eu\)
将它求导：\(h'(x)=-\Sigma_{i=1}^n \frac{s_i}{x_i^2}+2\ast\lambda\ast\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')\)

二分求\(h'(x)=0\)时的\(x\)值
二分时每一个\(x_i\)也是二分求

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#define QAQ int
#define TAT long long
#define OwO bool
#define ORZ double
#define F(i,j,n) for(QAQ i=j;i<=n;++i)
#define E(i,j,n) for(QAQ i=j;i>=n;--i)
#define MES(i,j) memset(i,j,sizeof(i))
#define MEC(i,j) memcpy(i,j,sizeof(j))
using namespace std;
const QAQ N=10005;
QAQ n;
ORZ m;
struct data{
    ORZ s,k,v;
}a[N];
ORZ l,r,ans,v[N];
OwO pd(ORZ lmd){
    F(i,1,n){
        ORZ l=a[i].v,r=1000000,ans=0;
        F(j,1,100){
            ORZ mid=(l+r)/2.0;
            if(2*lmd*a[i].k*mid*mid*(mid-a[i].v)<=1.0) l=mid,ans=mid;
            else r=mid;
        }
        v[i]=ans;
    }
    ORZ ans=0;
    F(i,1,n) ans+=a[i].k*(v[i]-a[i].v)*(v[i]-a[i].v)*a[i].s;
    return ans>=m;
}
QAQ main(){
    scanf("%d%lf",&n,&m);
    F(i,1,n) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].s,&a[i].k,&a[i].v);
    l=0;r=10000000;
    F(i,1,100){
        ORZ mid=(l+r)/2.0;
        if(pd(mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }
    F(i,1,n) ans+=a[i].s/v[i];
    printf("%.6lf\n",ans);
    return 0;
}