历届试题_出栈次序

X星球特别讲究秩序，所有道路都是单行线。一个甲壳虫车队，共16辆车，按照编号先后发车，夹在其它车流中，缓缓前行。
路边有个死胡同，只能容一辆车通过，是临时的检查站，如图【p1.png】所示。
X星球太死板，要求每辆路过的车必须进入检查站，也可能不检查就放行，也可能仔细检查。
如果车辆进入检查站和离开的次序可以任意交错。那么，该车队再次上路后，可能的次序有多少种？
为了方便起见，假设检查站可容纳任意数量的汽车。
显然，如果车队只有1辆车，可能次序1种；2辆车可能次序2种；3辆车可能次序5种。 现在足足有16辆车啊，亲！需要你计算出可能次序的数目。

思路：这道题其实是一个进栈出栈的题，也就是问所有出栈顺序的可能数，如果之前了解过这方面的问题的同学，这道题其实就是送分题，可以直接利用卡特兰数的公式求解，不了解的话

可以看一下我之前写的一篇博客，也是关于进出栈次序的问题，有对卡特兰数详细的分析https://www.cnblogs.com/henuliulei/p/9867106.html，下面是几种网上的常见求解思路，做了一下总结

方法一：求出栈次序，无非就是问一共有多少种满足要求的排列，满足条件在本题中就是指，只有站中有“车”，才能够出来。假设1，代表进站，0代表出站，r代表进栈的个数，L代表出栈的个数，易知

只有进栈的个数r大于等于出栈的个数L才可以出栈或进栈，否则只能进栈,因此可以进行回溯求出所有可能的方案。

 

#include<iostream>

using namespace std;

int num=0;

 

void dfs(int n,int r,int l){

    if(n==32){

        num++;

        return;

    }

 

        if(r>l){

            if(r<16)

            dfs(n+1,r+1,l);

            if(l<16)

            dfs(n+1,r,l+1);

        }else{

            if(r==l)

            if(r<16)

            dfs(n+1,r+1,l);

        }

 

    return;

}

 

int main(){

    

    dfs(0,0,0);

    cout<<num<<endl;

    return 0;

}

方法二：利用卡特兰数的公式f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... +f(n-1)*f(0)

#include <stdio.h>

int main()

{

    int f[20];

    int i,j;

    f[0]=1;

    f[1]=1;

    f[2]=2;

    f[3]=5;

    for(i=4;i<=16;i++)

        f[i]=0;//注意必须给其他数组置0

    for(i=4; i<=16; i++) //求16个元素

    {

        for(j=0; j<=i-1; j++)

            f[i]+=f[j]*f[i-1-j];

    }

    printf("%d",f[16]);

    return 0;

}

方法三：卡特兰数的另一种递推公式h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)

#include <stdio.h>

int main()

{

    int n,h[20];

    h[0]=1;

    h[1]=1;

    for(n=2;n<=16;n++)

        h[n]=h[n-1]*(4*n-2)/(n+1);

    printf("%d\n",h[16]);

    return 0;

}

方法四：卡特兰数递推公式的解：h(n)=C(n,2n)*(2n-1) (n=0,1,2,...)

该种方法有一定的局限性，因为n>14时数据会超出unsigned long long int 的范围（0~2^64-1），不过可以考虑先求n=14的解，再用计算器推出n=16的解。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int m;
unsigned long long int f(int n)
{
   unsigned    long long int m1=1;
    unsigned    long long int m2=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        m1*=i;
    }
    for(int i=2*n;i>n;i--){
        m2*=i;
    }
   // cout << m2 << "--" << m1 << endl;
    m=m2/m1;
    return m;
}
int main()
{

   int n;
  // while(true){
       cin >> n;
   cout << f(n)/(n+1);
  // }
    return 0;
}

总之熟记卡特兰数即可。