斐波那契数列

1. Fibonacci数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

【问题描述】

Fibonacci数列的递推公式为：F_n=F_n-1+F_n-2，其中F₁=F₂=1。

当n比较大时，F_n也非常大，现在我们想知道，F_n除以10007的余数是多少。

输入格式

输入包含一个整数n。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示F_n除以10007的余数。

说明：在本题中，答案是要求F_n除以10007的余数，因此我们只要能算出这个余数即可，而不需要先计算出F_n的准确值，再将计算的结果除以10007取余数，直接计算余数往往比先算出原数再取余简单。

样例输入

10

样例输出

55

样例输入

22

样例输出

7704

数据规模与约定

1 <= n <= 1,000,000。

 

方法1（递归）：

最常见的就是使用递归：

public class Fibonacci {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
System.out.println(fun(n)%10007);//数字容易溢出，且递归只适用于较小数字的输入
}
public static long fun(long n) {
if(n==1||n==2) {
return 1;
}
else {
return fun(n-1)+fun(n-2);
}
}
}

但当递归输入数字超过40以后，递归的开销就变得特别大，这时使用递归就会产生超时，因此当数字较大时我们通常采用动态规划的方式，将中间结果存放在数组中

方法2（动态规划）：

import java.util.Scanner;

public class Fibonai {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
int[] arr=new int[n];
arr[0]=1;
arr[1]=1;
for(int i=2;i<n;i++) {
arr[i]=（arr[i-1]+arr[i-2]）%10007;//%10007是为了防止数字溢出
}
System.out.println(arr[n-1]);
}
}

如果为了降低存储开销，而中间的数据不重要时，可以采用第三种方法

方法3（迭代递加）：

import java.util.Scanner;

public class Fibonai {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
int a=1;
int b=1;
int c=0;
for(int i=2;i<n;i++) {
c=a+b;
a=b;
b=c;//迭代递加

c=c%10007;//防止数字溢出
}
System.out.println(c);
}
}