一种斐波那契博弈(Fibonacci Nim)

事实上我也不知道这算是哪个类型的博弈

是在复习$NOIP$初赛的时候看到的一个挺有趣的博弈

所以就写出来分享一下

 

$upd \ on \ 2018.10.12$忽然发现这个其实就是$Fibonacci Nim$...

 

题目：有n张纸牌，A，B两人轮流按照以下规则取牌。

规则一：A先取，但是不能在第一次将纸牌全部取完，而且至少要取一张；

规则二：每次所取纸牌张数必须大于或等于1,且小于等于对手刚取的纸牌张数的两倍。取到最后一张牌者为胜者。

输入纸牌的张数n，判断A是否必胜，如果必胜，输出”win”，否则输出”lose”。

 

问题分析：当n较小时，可以归纳如下：

⑴2张牌时，先拿的人必输；

⑵3张牌时，先拿的人必输；

⑶我们先看5张牌的情况，假如我们把取5张牌分成两个步骤：先取前面2张，再取后面3张，为什么可以这样分成两个步骤？因为后取者有这个权力！先者只能取第一张，后者可以取到第二张，这样，后者就必可以取到第5张牌，先者必输。

同样，如果是8张牌时，可以分为：先取前面3张，再取后面5张，后者胜，先者必输。

结论：⑴如果牌的张数$n$是$Fibonacci$数时，先取牌者必败。 ⑵对所有非$Fibonacci$数都是先取人必赢，反之，必败。

下面给出一般性证明：

假设$n<=k$，且牌数为$Fibonacci$数时，都是取牌者必输。

那么$n=k+1$时，因为$F(k+1)=F(k)+F(k-1)$，即要取完$F(k+1)$张牌，可以分成两步：先取完$F(k-1)$张牌，再取完$F(k)$张牌。对于$F(k-1)$张牌，先取A者输！意味着对于$F(k)$张牌，A还得必须先取，所以A输。

那么，牌数为非$Fibonacci$数时，先取牌者有没有必胜的策略呢？

引用一个定理：当一个数不是$Fibonacci$数时，这个数必然等于若干个$Fibonacci$数之和，并且这些$Fibonacci$数在$Fibonacci$数列中都不相邻。

比如：$78=55+23＝55+21+2$（其中55,21,2都是$Fibonacci$数）；

对于非$Fibonacci$数$a0$，设f(n)是小于4a0$的最大$Fibonacci$数。

$a0=f(n)+…+f(i)+f(j)$，其中$f(j)$是式中最小的$Fibonacci$数，$f(i)$是第二小的$Fibonacci$数。由于$f(i)$、$f(j)$在$Fibonacci$数列中并不是相邻的，所以$f(i)>2*f(j)$。所以先取者可以直接取走$f(j)$张牌，后取者无法一次取走$f(i)$张牌，$f(i)$是$Fibonacci$数，由前面的分析，后取者必败。

结论：对所有非$Fibonacci$数都是先取人必赢，反之，必败。