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[luogu2119]魔法阵 NOIP2016T4

 


很好的一道数学推导题

45分做法

O(N4)暴力枚举四个材料

55分做法

从第一个约束条件可得到所有可行答案都是单调递增的,所以可以排序一遍,减少枚举量,可以拿到55分

100分做法

首先可以发现每个x都小于n,而n最大值只是15000,所以可以开一个桶来存每个魔法值出现的次数

回忆一下3个约束条件

xa<xb<xc<xd

xbxa=2(xdxc)

xbxa<(xcxb)/3

现在魔改一下这三个式子

t=xdxc

所以②可化为xbxa=2t

将④代入③

2t<(xcxb)/3

移项一下,就变成

6t<xcxb

再魔改一下

6t+k=xcxb(就是把差的部分补上去)

于是可以画出来一个图

显然,A的最小值为1D的最大值为n

由图可得AD=9t+k

所以我们可以尝试着枚举t,用t来表示各个魔法值的值

由上易得t的范围为1<=t<=(n1)/9

在代码中为了避免除法写成t9<n

再枚举D,因为我们已经枚举出了t,所以C的值是可以直接算出来的

C=Dt

又因为使A,B,C,D满足条件的k的最小值为1,所以对于当前的C和D,最大的A和B为A=D9t1,B=D7t1

那么如果A和B更小怎么办?

观察到在其他条件不变的情况下,只要CB满足XcXb>6t,那么这个魔法阵就一定成立,所以当(a1<a2,b1<b2)时,只要a2b2能够和C,D组成魔法阵,a1,b1也一定能和C,D组成魔法阵,所以可以使用前缀和优化

然后又由乘法原理可得,当前魔法值作为D物品的个数为SumD=SumASumBSumC

所以我们利用前缀和优化SumASumB

C的情况可以顺便在算D的时候算出来

那么还有一个问题是,我们枚举的D的范围是多少?

因为要统计前缀和,所以一定是要顺推下去的,由上面那张图我们可以知道,D的最大值为n,最小值则为当k=1且A=1的时候,所以D的最小值为9t+2,再小是无法组成魔法阵的

同理可以枚举A

但是这个的情况又和枚举D的情况有一点不同

在其他条件不变的情况下,只要CB满足XcXb>6t,那么这个魔法阵就一定成立,所以当(c1<c2,d1<d2)时,只要c1d1能够和A,B组成魔法阵,c2,d2也一定能和A,B组成魔法阵,所以可以使用后缀和优化

因为需要统计后缀和,所以需要逆推

枚举的范围:A的最大值为(nt91)(因为当k=1,D=n的时候A才最大),A的最小值则为1

所以就可以算出每个魔法值作为A,B,C,D物品的次数了,输出时直接输出当前魔法物品的魔法值的次数就可以了

复制代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
#define N 50010
int n,m;
int a[N],b[N],c[N],d[N];
int x[N],vis[N];
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        x[i]=read(),vis[x[i]]++;
    for(int t=1;t*9<n;t++){
        int sum=0;
        for(int D=9*t+2;D<=n;D++){
            int A=D-9*t-1;
            int B=A+2*t;
            int C=D-t;
            sum+=vis[A]*vis[B];
            c[C]+=vis[D]*sum;
            d[D]+=vis[C]*sum;
        }
        sum=0;
        for(int A=n-9*t-1;A;A--){
            int B=A+2*t;
            int C=B+6*t+1;
            int D=A+9*t+1;
            sum+=vis[C]*vis[D];
            a[A]+=vis[B]*sum;
            b[B]+=vis[A]*sum;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        printf("%d %d %d %d\n",a[x[i]],b[x[i]],c[x[i]],d[x[i]]);
    }
    return 0;
}
复制代码

参考资料:

学长的博客

(如果看不懂我的题解可以去看一下学长的qwq,我是看他的题解才懂这道题怎么写的,然后自己再归纳总结一下才写出来这篇博客)

 

posted @   henry_y  阅读(2589)  评论(3编辑  收藏  举报
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