[bzoj2190][SDOI2008]仪仗队

Description

　　作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 　　 

　　现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

Input

　　共一个数N。

Output

　　共一个数，即C君应看到的学生人数。

Sample Input

　　4

Sample Output

　　9

HINT

【数据规模和约定】 　　对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

 

题解

先讲一下18分做法qwq

当然bzoj是没有部分分的，这是我A了这道题之后专门跑去洛谷测了一下这个想法能捞多少分

首先观察到，对于每个斜率，一定只有一个人能被看到

那么直接开一个bool数组，将除了对角线，第一行，第一列的都处理成1（对角线，第一行，第一列的第一个也处理成1）

然后从左下角开始枚举

枚举到每个1就根据斜率往上跳，把当前位处理成0

最后扫一遍这个数组统计1的个数

然后就会RE一堆

因为数据范围是n<=40000的，数组都开不了，我当时直接开5000*5000看能捞多少分的

所以其实这个跟没讲差不多

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
bool a[5000][5000];
int abs(int x){return x<0?-x:x;}
int main(){
    memset(a,1,sizeof(a));
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n-2;i++)a[1][i]=0;
    for(int i=3;i<=n;i++)a[n][i]=0;
    int x=n-1,y=2;
    while(--x&&++y<=n)a[x][y]=0;
    for(int i=n-1;i;i--){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==n-1||j==1||j==2)continue;
            if(!a[i][j])continue;
            int aa=abs(n-i),b=abs(1-j);
            x=i-aa,y=j+b;
            while(x&&y<=n){a[x][y]=0;x=x-aa;y=y+b;}
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(a[i][j])ans++;
        }
    }
    printf("%d\n",ans-1);
    return 0;
}

是时候讲正解了

其实就是裸的欧拉函数题

观察到只有对于坐标$(x,y)$，只有当 $ gcd(x,y)=1 $ 时才能被看到，不然它一定会被 $ (1/gcd(x,y),1/(gcd(x,y)) $ 挡住

而欧拉函数$Eular(n)$表示在1~n中与n互质的数的个数

所以只需要用欧拉筛求出1~n的Euler值，对他们求个sum就行

有几个要注意的小坑点是，我们求出来的和只是这个正方形的一半，所以要*2，然后对角线上也有一点，而我们是不会把i==j的情况筛出来的

所以答案是ans*2+1

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 40040
int phi[N];
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n==1)return puts("0"),0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!phi[i]){
            for(int j=i;j<=n;j+=i){
                if(!phi[j])phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        ans+=phi[i];
    }
    printf("%d\n",ans*2+1);
    return 0;
}